Производная sin(sqrt(x)/(1+n^2*x))^2

Вы ввели

    /   ___  \
   2| \/ x   |
sin |--------|
    |     2  |
    \1 + n *x/

$$\sin^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)}$$

  /    /   ___  \\
d |   2| \/ x   ||
--|sin |--------||
dx|    |     2  ||
  \    \1 + n *x//

$$\frac{\partial}{\partial x} \sin^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x} \sin{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x} \frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1}$:

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sqrt{x}$ и $g{\left(x \right)} = n^{2} x + 1$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. дифференцируем $n^{2} x + 1$ почленно:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $n^{2}$

            В результате: $n^{2}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- n^{2} \sqrt{x} + \frac{n^{2} x + 1}{2 \sqrt{x}}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\left(- n^{2} \sqrt{x} + \frac{n^{2} x + 1}{2 \sqrt{x}}\right) \cos{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 \left(- n^{2} \sqrt{x} + \frac{n^{2} x + 1}{2 \sqrt{x}}\right) \sin{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)} \cos{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{\left(n^{2} x - 1\right) \sin{\left(\frac{2 \sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)}}{2 \sqrt{x} \left(n^{2} x + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{\left(n^{2} x - 1\right) \sin{\left(\frac{2 \sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)}}{2 \sqrt{x} \left(n^{2} x + 1\right)^{2}}$

Первая производная

  /                        2   ___ \    /   ___  \    /   ___  \
  |        1              n *\/ x  |    | \/ x   |    | \/ x   |
2*|------------------ - -----------|*cos|--------|*sin|--------|
  |    ___ /     2  \             2|    |     2  |    |     2  |
  |2*\/ x *\1 + n *x/   /     2  \ |    \1 + n *x/    \1 + n *x/
  \                     \1 + n *x/ /                            

$$2 \left(- \frac{n^{2} \sqrt{x}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(n^{2} x + 1\right)}\right) \sin{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)} \cos{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)}$$

Вторая производная

                      2                                        2                                                                                     
/             2   ___\      /   ___  \   /             2   ___\      /   ___  \                                                                      
|    1     2*n *\/ x |     2| \/ x   |   |    1     2*n *\/ x |     2| \/ x   |                                                                      
|- ----- + ----------| *cos |--------|   |- ----- + ----------| *sin |--------|                                                                      
|    ___           2 |      |       2|   |    ___           2 |      |       2|   /           4   ___            2      \    /   ___  \    /   ___  \
\  \/ x     1 + x*n  /      \1 + x*n /   \  \/ x     1 + x*n  /      \1 + x*n /   | 1      8*n *\/ x          4*n       |    | \/ x   |    | \/ x   |
-------------------------------------- - -------------------------------------- - |---- - ----------- + ----------------|*cos|--------|*sin|--------|
                      2                                        2                  | 3/2             2     ___ /       2\|    |       2|    |       2|
               1 + x*n                                  1 + x*n                   |x      /       2\    \/ x *\1 + x*n /|    \1 + x*n /    \1 + x*n /
                                                                                  \       \1 + x*n /                    /                            
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                       /       2\                                                                    
                                                                     2*\1 + x*n /                                                                    

$$\frac{- \left(- \frac{8 n^{4} \sqrt{x}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{2}} + \frac{4 n^{2}}{\sqrt{x} \left(n^{2} x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \sin{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)} \cos{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)} - \frac{\left(\frac{2 n^{2} \sqrt{x}}{n^{2} x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} \sin^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)}}{n^{2} x + 1} + \frac{\left(\frac{2 n^{2} \sqrt{x}}{n^{2} x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} \cos^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)}}{n^{2} x + 1}}{2 \left(n^{2} x + 1\right)}$$

Третья производная

  /           6   ___            2                  4      \    /   ___  \    /   ___  \                         3                                     /   ___  \ /             2   ___\ /           4   ___            2      \         /   ___  \ /             2   ___\ /           4   ___            2      \
  | 1     16*n *\/ x          2*n                8*n       |    | \/ x   |    | \/ x   |   /             2   ___\     /   ___  \    /   ___  \        2| \/ x   | |    1     2*n *\/ x | | 1      8*n *\/ x          4*n       |        2| \/ x   | |    1     2*n *\/ x | | 1      8*n *\/ x          4*n       |
3*|---- - ----------- + --------------- + -----------------|*cos|--------|*sin|--------|   |    1     2*n *\/ x |     | \/ x   |    | \/ x   |   3*sin |--------|*|- ----- + ----------|*|---- - ----------- + ----------------|   3*cos |--------|*|- ----- + ----------|*|---- - ----------- + ----------------|
  | 5/2             3    3/2 /       2\                   2|    |       2|    |       2|   |- ----- + ----------| *cos|--------|*sin|--------|         |       2| |    ___           2 | | 3/2             2     ___ /       2\|         |       2| |    ___           2 | | 3/2             2     ___ /       2\|
  |x      /       2\    x   *\1 + x*n /     ___ /       2\ |    \1 + x*n /    \1 + x*n /   |    ___           2 |     |       2|    |       2|         \1 + x*n / \  \/ x     1 + x*n  / |x      /       2\    \/ x *\1 + x*n /|         \1 + x*n / \  \/ x     1 + x*n  / |x      /       2\    \/ x *\1 + x*n /|
  \       \1 + x*n /                      \/ x *\1 + x*n / /                               \  \/ x     1 + x*n  /     \1 + x*n /    \1 + x*n /                                           \       \1 + x*n /                    /                                           \       \1 + x*n /                    /
---------------------------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------------------
                                           4                                                                             2                                                           /       2\                                                                        /       2\                                 
                                                                                                               /       2\                                                          4*\1 + x*n /                                                                      4*\1 + x*n /                                 
                                                                                                               \1 + x*n /                                                                                                                                                                                         
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                            2                                                                                                                                                     
                                                                                                                                                     1 + x*n                                                                                                                                                      

$$\frac{\frac{3 \left(- \frac{16 n^{6} \sqrt{x}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{3}} + \frac{8 n^{4}}{\sqrt{x} \left(n^{2} x + 1\right)^{2}} + \frac{2 n^{2}}{x^{\frac{3}{2}} \left(n^{2} x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}\right) \sin{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)} \cos{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)}}{4} - \frac{3 \cdot \left(\frac{2 n^{2} \sqrt{x}}{n^{2} x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \left(- \frac{8 n^{4} \sqrt{x}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{2}} + \frac{4 n^{2}}{\sqrt{x} \left(n^{2} x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \sin^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)}}{4 \left(n^{2} x + 1\right)} + \frac{3 \cdot \left(\frac{2 n^{2} \sqrt{x}}{n^{2} x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \left(- \frac{8 n^{4} \sqrt{x}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{2}} + \frac{4 n^{2}}{\sqrt{x} \left(n^{2} x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \cos^{2}{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)}}{4 \left(n^{2} x + 1\right)} + \frac{\left(\frac{2 n^{2} \sqrt{x}}{n^{2} x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{3} \sin{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)} \cos{\left(\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right)}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{2}}}{n^{2} x + 1}$$