Производная sin((1-log(x))/x)^(2)

Вы ввели

   2/1 - log(x)\
sin |----------|
    \    x     /

$$\sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (\frac{1}{x} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (\frac{1}{x} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{1}{x} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right)$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right)\right)$:

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

         $f{\left (x \right )} = - \log{\left (x \right )} + 1$ и $g{\left (x \right )} = x$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. дифференцируем $- \log{\left (x \right )} + 1$ почленно:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

               Таким образом, в результате: $- \frac{1}{x}$

            В результате: $- \frac{1}{x}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{1}{x^{2}} \left(\log{\left (x \right )} - 2\right)$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x^{2}} \left(\log{\left (x \right )} - 2\right) \cos{\left (\frac{1}{x} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2}{x^{2}} \left(\log{\left (x \right )} - 2\right) \sin{\left (\frac{1}{x} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x^{2}} \left(\log{\left (x \right )} - 2\right) \sin{\left (\frac{1}{x} \left(2 \log{\left (x \right )} - 2\right) \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{2}} \left(\log{\left (x \right )} - 2\right) \sin{\left (\frac{1}{x} \left(2 \log{\left (x \right )} - 2\right) \right )}$

Первая производная

  /  1    1 - log(x)\    /1 - log(x)\    /1 - log(x)\
2*|- -- - ----------|*cos|----------|*sin|----------|
  |   2        2    |    \    x     /    \    x     /
  \  x        x     /                                

$$2 \left(- \frac{1}{x^{2}} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) - \frac{1}{x^{2}}\right) \sin{\left (\frac{1}{x} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) \right )}$$

Вторая производная

  /             2    2/-1 + log(x)\                                                                    2    2/-1 + log(x)\\
  |(-2 + log(x)) *cos |-----------|                                                       (-2 + log(x)) *sin |-----------||
  |                   \     x     /                      /-1 + log(x)\    /-1 + log(x)\                      \     x     /|
2*|-------------------------------- + (-5 + 2*log(x))*cos|-----------|*sin|-----------| - --------------------------------|
  \               x                                      \     x     /    \     x     /                  x                /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                              3                                                            
                                                             x                                                             

$$\frac{1}{x^{3}} \left(2 \left(2 \log{\left (x \right )} - 5\right) \sin{\left (\frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \right )} - \frac{2}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 2\right)^{2} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \right )} + \frac{2}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 2\right)^{2} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \right )}\right)$$

Третья производная

  /                                                            2/-1 + log(x)\                                      2/-1 + log(x)\                                                3    /-1 + log(x)\    /-1 + log(x)\\
  |                                                       3*cos |-----------|*(-5 + 2*log(x))*(-2 + log(x))   3*sin |-----------|*(-5 + 2*log(x))*(-2 + log(x))   4*(-2 + log(x)) *cos|-----------|*sin|-----------||
  |                      /-1 + log(x)\    /-1 + log(x)\         \     x     /                                       \     x     /                                                     \     x     /    \     x     /|
2*|- (-17 + 6*log(x))*cos|-----------|*sin|-----------| - ------------------------------------------------- + ------------------------------------------------- + --------------------------------------------------|
  |                      \     x     /    \     x     /                           x                                                   x                                                    2                        |
  \                                                                                                                                                                                       x                         /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                           4                                                                                                         
                                                                                                          x                                                                                                          

$$\frac{1}{x^{4}} \left(- 2 \left(6 \log{\left (x \right )} - 17\right) \sin{\left (\frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \right )} + \frac{6}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 2\right) \left(2 \log{\left (x \right )} - 5\right) \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \right )} - \frac{6}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 2\right) \left(2 \log{\left (x \right )} - 5\right) \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \right )} + \frac{8}{x^{2}} \left(\log{\left (x \right )} - 2\right)^{3} \sin{\left (\frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \right )}\right)$$