Производная (8*x)/(1-4*x^2)^2

Вы ввели

    8*x    
-----------
          2
/       2\ 
\1 - 4*x / 

$$\frac{8 x}{\left(- 4 x^{2} + 1\right)^{2}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = 8 x$ и $g{\left (x \right )} = \left(- 4 x^{2} + 1\right)^{2}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $8$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = - 4 x^{2} + 1$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- 4 x^{2} + 1\right)$:

      1. дифференцируем $- 4 x^{2} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            Таким образом, в результате: $- 8 x$

         В результате: $- 8 x$

      В результате последовательности правил:

      $- 8 x \left(- 8 x^{2} + 2\right)$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(- 4 x^{2} + 1\right)^{4}} \left(64 x^{2} \left(- 8 x^{2} + 2\right) + 8 \left(- 4 x^{2} + 1\right)^{2}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{96 x^{2} + 8}{64 x^{6} - 48 x^{4} + 12 x^{2} - 1}$

---

Ответ:

$- \frac{96 x^{2} + 8}{64 x^{6} - 48 x^{4} + 12 x^{2} - 1}$

Первая производная

                      2  
     8           128*x   
----------- + -----------
          2             3
/       2\    /       2\ 
\1 - 4*x /    \1 - 4*x / 

$$\frac{128 x^{2}}{\left(- 4 x^{2} + 1\right)^{3}} + \frac{8}{\left(- 4 x^{2} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

      /         2  \
      |      8*x   |
384*x*|1 + --------|
      |           2|
      \    1 - 4*x /
--------------------
              3     
    /       2\      
    \1 - 4*x /      

$$\frac{384 x \left(\frac{8 x^{2}}{- 4 x^{2} + 1} + 1\right)}{\left(- 4 x^{2} + 1\right)^{3}}$$

Третья производная

    /         2             4  \
    |     48*x         256*x   |
384*|1 + -------- + -----------|
    |           2             2|
    |    1 - 4*x    /       2\ |
    \               \1 - 4*x / /
--------------------------------
                    3           
          /       2\            
          \1 - 4*x /            

$$\frac{1}{\left(- 4 x^{2} + 1\right)^{3}} \left(\frac{98304 x^{4}}{\left(- 4 x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{18432 x^{2}}{- 4 x^{2} + 1} + 384\right)$$