Производная x*exp(x^(1/8))

Вы ввели

   8 ___
   \/ x 
x*e     

$$x e^{\sqrt[8]{x}}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = e^{\sqrt[8]{x}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sqrt[8]{x}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt[8]{x}$:

      1. В силу правила, применим: $\sqrt[8]{x}$ получим $\frac{1}{8 x^{\frac{7}{8}}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{e^{\sqrt[8]{x}}}{8 x^{\frac{7}{8}}}$

   В результате: $\frac{\sqrt[8]{x} e^{\sqrt[8]{x}}}{8} + e^{\sqrt[8]{x}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{e^{\sqrt[8]{x}}}{8} \left(\sqrt[8]{x} + 8\right)$

---

Ответ:

$\frac{e^{\sqrt[8]{x}}}{8} \left(\sqrt[8]{x} + 8\right)$

Первая производная

       8 ___         
8 ___  \/ x     8 ___
\/ x *e         \/ x 
------------ + e     
     8               

$$\frac{\sqrt[8]{x} e^{\sqrt[8]{x}}}{8} + e^{\sqrt[8]{x}}$$

Вторая производная

               8 ___
/ 1      9  \  \/ x 
|---- + ----|*e     
| 3/4    7/8|       
\x      x   /       
--------------------
         64         

$$\frac{e^{\sqrt[8]{x}}}{64} \left(\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{9}{x^{\frac{7}{8}}}\right)$$

Третья производная

                        8 ___
/  1       63     3  \  \/ x 
|----- - ----- + ----|*e     
| 13/8    15/8    7/4|       
\x       x       x   /       
-----------------------------
             512             

$$\frac{e^{\sqrt[8]{x}}}{512} \left(\frac{3}{x^{\frac{7}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{13}{8}}} - \frac{63}{x^{\frac{15}{8}}}\right)$$