Производная x*x^(1/3)-(2/9)*x^2

Вы ввели

             2
  3 ___   2*x 
x*\/ x  - ----
           9  

$$\sqrt[3]{x} x - \frac{2 x^{2}}{9}$$

  /             2\
d |  3 ___   2*x |
--|x*\/ x  - ----|
dx\           9  /

$$\frac{d}{d x} \left(\sqrt[3]{x} x - \frac{2 x^{2}}{9}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\sqrt[3]{x} x - \frac{2 x^{2}}{9}$ почленно:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{x}$ получим $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

      В результате: $\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Таким образом, в результате: $\frac{4 x}{9}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{4 x}{9}$

   В результате: $\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{4 x}{9}$

---

Ответ:

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{4 x}{9}$

Первая производная

          3 ___
  4*x   4*\/ x 
- --- + -------
   9       3   

$$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{4 x}{9}$$

Вторая производная

  /      1  \
4*|-1 + ----|
  |      2/3|
  \     x   /
-------------
      9      

$$\frac{4 \left(-1 + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\right)}{9}$$

Третья производная

  -8   
-------
    5/3
27*x   

$$- \frac{8}{27 x^{\frac{5}{3}}}$$

График