Производная (x^2-1)/(x^3+1)*x*exp(-x)

Вы ввели

 2          
x  - 1    -x
------*x*e  
 3          
x  + 1      

$$x \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 1} e^{- x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x \left(x^{2} - 1\right)$ и $g{\left (x \right )} = \left(x^{3} + 1\right) e^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = x^{2} - 1$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x^{2} - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате: $2 x$

      В результате: $3 x^{2} - 1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x^{3} + 1$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x^{3} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

         В результате: $3 x^{2}$

      $g{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $3 x^{2} e^{x} + \left(x^{3} + 1\right) e^{x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{e^{- 2 x}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} \left(- x \left(x^{2} - 1\right) \left(3 x^{2} e^{x} + \left(x^{3} + 1\right) e^{x}\right) + \left(3 x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + 1\right) e^{x}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{e^{- x}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} \left(- x \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + 3 x^{2} + 1\right) + \left(3 x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + 1\right)\right)$

---

Ответ:

$\frac{e^{- x}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} \left(- x \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + 3 x^{2} + 1\right) + \left(3 x^{2} - 1\right) \left(x^{3} + 1\right)\right)$

Первая производная

/  /            2 / 2    \\    2    \         / 2    \  -x
|  | 2*x     3*x *\x  - 1/|   x  - 1|  -x   x*\x  - 1/*e  
|x*|------ - -------------| + ------|*e   - --------------
|  | 3                 2  |    3    |            3        
|  |x  + 1     / 3    \   |   x  + 1|           x  + 1    
\  \           \x  + 1/   /         /                     

$$- \frac{x \left(x^{2} - 1\right) e^{- x}}{x^{3} + 1} + \left(x \left(- \frac{3 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{3} + 1}\right) + \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 1}\right) e^{- x}$$

Вторая производная

/                            /         /      2\\       /        3        /      2\      4 /      2\\      3 /      2\\    
|       2     /      2\    2 |     3*x*\-1 + x /|       |     2*x     2*x*\-1 + x /   3*x *\-1 + x /|   3*x *\-1 + x /|  -x
|2 - 4*x  + x*\-1 + x / + x *|-2 + -------------| + 6*x*|1 - ------ - ------------- + --------------| + --------------|*e  
|                            |              3   |       |         3            3                2   |            3    |    
|                            \         1 + x    /       |    1 + x        1 + x         /     3\    |       1 + x     |    
\                                                       \                               \1 + x /    /                 /    
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                3                                                          
                                                           1 + x                                                           

$$\frac{e^{- x}}{x^{3} + 1} \left(\frac{3 x^{3} \left(x^{2} - 1\right)}{x^{3} + 1} + x^{2} \left(\frac{3 x \left(x^{2} - 1\right)}{x^{3} + 1} - 2\right) - 4 x^{2} + x \left(x^{2} - 1\right) + 6 x \left(\frac{3 x^{4} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} - \frac{2 x^{3}}{x^{3} + 1} - \frac{2 x \left(x^{2} - 1\right)}{x^{3} + 1} + 1\right) + 2\right)$$

Третья производная

/                                                                                                                                                                       /                 5        3 /      2\       6 /      2\\                                                     \    
|                                                                                                                                                                       |         2   18*x     18*x *\-1 + x /   27*x *\-1 + x /|                                                     |    
|                                                                                                                                                                   6*x*|-1 + 10*x  - ------ - --------------- + ---------------|                                                     |    
|                                                                                                                                                                       |                  3             3                  2   |                                                     |    
|                                  /         /      2\\       3         /        3        /      2\      4 /      2\\       4         /      2\       5 /      2\       |             1 + x         1 + x           /     3\    |      3 /      2\       2 /      2\       4 /      2\|    
|             2     /      2\    2 |     3*x*\-1 + x /|   36*x          |     2*x     2*x*\-1 + x /   3*x *\-1 + x /|   12*x     18*x*\-1 + x /   18*x *\-1 + x /       \                                           \1 + x /    /   6*x *\-1 + x /   12*x *\-1 + x /   54*x *\-1 + x /|  -x
|3 - 6*x + 7*x  - x*\-1 + x / - x *|-2 + -------------| - ------ - 12*x*|1 - ------ - ------------- + --------------| + ------ - -------------- - --------------- - ------------------------------------------------------------- - -------------- + --------------- + ---------------|*e  
|                                  |              3   |        3        |         3            3                2   |        3            3                  2                                       3                                       3                 3                  2   |    
|                                  \         1 + x    /   1 + x         |    1 + x        1 + x         /     3\    |   1 + x        1 + x           /     3\                                   1 + x                                   1 + x             1 + x           /     3\    |    
\                                                                       \                               \1 + x /    /                                \1 + x /                                                                                                             \1 + x /    /    
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                3                                                                                                                                          
                                                                                                                                           1 + x                                                                                                                                           

$$\frac{e^{- x}}{x^{3} + 1} \left(- \frac{18 x^{5} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{54 x^{4} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{12 x^{4}}{x^{3} + 1} - \frac{6 x^{3} \left(x^{2} - 1\right)}{x^{3} + 1} - \frac{36 x^{3}}{x^{3} + 1} + \frac{12 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{x^{3} + 1} - x^{2} \left(\frac{3 x \left(x^{2} - 1\right)}{x^{3} + 1} - 2\right) + 7 x^{2} - x \left(x^{2} - 1\right) - \frac{18 x \left(x^{2} - 1\right)}{x^{3} + 1} - 12 x \left(\frac{3 x^{4} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} - \frac{2 x^{3}}{x^{3} + 1} - \frac{2 x \left(x^{2} - 1\right)}{x^{3} + 1} + 1\right) - 6 x - \frac{6 x}{x^{3} + 1} \left(\frac{27 x^{6} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} - \frac{18 x^{5}}{x^{3} + 1} - \frac{18 x^{3} \left(x^{2} - 1\right)}{x^{3} + 1} + 10 x^{2} - 1\right) + 3\right)$$