Производная (x^2+3*x-9)/(x-3)

Вы ввели

 2          
x  + 3*x - 9
------------
   x - 3    

$$\frac{x^{2} + 3 x - 9}{x - 3}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{2} + 3 x - 9$ и $g{\left (x \right )} = x - 3$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{2} + 3 x - 9$ почленно:

      1. Производная постоянной $-9$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $3$

      В результате: $2 x + 3$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x - 3$ почленно:

      1. Производная постоянной $-3$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}} \left(- x^{2} - 3 x + \left(x - 3\right) \left(2 x + 3\right) + 9\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \left(x - 6\right)}{x^{2} - 6 x + 9}$

---

Ответ:

$\frac{x \left(x - 6\right)}{x^{2} - 6 x + 9}$

Первая производная

           2          
3 + 2*x   x  + 3*x - 9
------- - ------------
 x - 3             2  
            (x - 3)   

$$\frac{2 x + 3}{x - 3} - \frac{x^{2} + 3 x - 9}{\left(x - 3\right)^{2}}$$

Вторая производная

  /          2                \
  |    -9 + x  + 3*x   3 + 2*x|
2*|1 + ------------- - -------|
  |              2      -3 + x|
  \      (-3 + x)             /
-------------------------------
             -3 + x            

$$\frac{1}{x - 3} \left(2 - \frac{4 x + 6}{x - 3} + \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}} \left(2 x^{2} + 6 x - 18\right)\right)$$

Третья производная

  /                     2      \
  |     3 + 2*x   -9 + x  + 3*x|
6*|-1 + ------- - -------------|
  |      -3 + x             2  |
  \                 (-3 + x)   /
--------------------------------
                   2            
           (-3 + x)             

$$\frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}} \left(-6 + \frac{12 x + 18}{x - 3} - \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}} \left(6 x^{2} + 18 x - 54\right)\right)$$