Производная (x^2+x-2)/(2*x+6)

Вы ввели

 2        
x  + x - 2
----------
 2*x + 6  

$$\frac{x^{2} + x - 2}{2 x + 6}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{2} + x - 2$ и $g{\left (x \right )} = 2 x + 6$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{2} + x - 2$ почленно:

      1. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      3. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x + 1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $2 x + 6$ почленно:

      1. Производная постоянной $6$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      В результате: $2$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(2 x + 6\right)^{2}} \left(- 2 x^{2} - 2 x + \left(2 x + 1\right) \left(2 x + 6\right) + 4\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2} + 6 x + 5}{2 x^{2} + 12 x + 18}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} + 6 x + 5}{2 x^{2} + 12 x + 18}$

Первая производная

            / 2        \
1 + 2*x   2*\x  + x - 2/
------- - --------------
2*x + 6              2  
            (2*x + 6)   

$$\frac{2 x + 1}{2 x + 6} - \frac{2 \left(x^{2} + x\right) - 4}{\left(2 x + 6\right)^{2}}$$

Вторая производная

              2          
    -2 + x + x    1 + 2*x
1 + ----------- - -------
             2     3 + x 
      (3 + x)            
-------------------------
          3 + x          

$$\frac{1}{x + 3} \left(1 - \frac{2 x + 1}{x + 3} + \frac{x^{2} + x - 2}{\left(x + 3\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

  /                         2\
  |     1 + 2*x   -2 + x + x |
3*|-1 + ------- - -----------|
  |      3 + x             2 |
  \                 (3 + x)  /
------------------------------
                  2           
           (3 + x)            

$$\frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} \left(-3 + \frac{6 x + 3}{x + 3} - \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} \left(3 x^{2} + 3 x - 6\right)\right)$$