Производная x^5+2^6*sqrt(x)/(x+1)-1*(x^2-1)/(x^3+1)

Вы ввели

          ___    2    
 5   64*\/ x    x  - 1
x  + -------- - ------
      x + 1      3    
                x  + 1

$$- \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 1} + \frac{64 \sqrt{x}}{x + 1} + x^{5}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $- \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 1} + \frac{64 \sqrt{x}}{x + 1} + x^{5}$ почленно:

   1. дифференцируем $\frac{64 \sqrt{x}}{x + 1} + x^{5}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x^{5}$ получим $5 x^{4}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

         $f{\left (x \right )} = 64 \sqrt{x}$ и $g{\left (x \right )} = x + 1$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

            Таким образом, в результате: $\frac{32}{\sqrt{x}}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            В результате: $1$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(- 64 \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \left(32 x + 32\right)\right)$

      В результате: $5 x^{4} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(- 64 \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \left(32 x + 32\right)\right)$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

         $f{\left (x \right )} = x^{2} - 1$ и $g{\left (x \right )} = x^{3} + 1$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. дифференцируем $x^{2} - 1$ почленно:

            1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            В результате: $2 x$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. дифференцируем $x^{3} + 1$ почленно:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

            В результате: $3 x^{2}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{1}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} \left(- 3 x^{2} \left(x^{2} - 1\right) + 2 x \left(x^{3} + 1\right)\right)$

      Таким образом, в результате: $- \frac{1}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} \left(- 3 x^{2} \left(x^{2} - 1\right) + 2 x \left(x^{3} + 1\right)\right)$

   В результате: $5 x^{4} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(- 64 \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \left(32 x + 32\right)\right) - \frac{1}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} \left(- 3 x^{2} \left(x^{2} - 1\right) + 2 x \left(x^{3} + 1\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{32 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 5 x^{4} + \frac{x^{4}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} - \frac{2 x}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{32}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{32 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 5 x^{4} + \frac{x^{4}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} - \frac{3 x^{2}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} - \frac{2 x}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{32}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)^{2}}$

Первая производная

            ___                               2 / 2    \
   4   64*\/ x     2*x           32        3*x *\x  - 1/
5*x  - -------- - ------ + ------------- + -------------
              2    3         ___                     2  
       (x + 1)    x  + 1   \/ x *(x + 1)     / 3    \   
                                             \x  + 1/   

$$- \frac{64 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 5 x^{4} + \frac{3 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} - \frac{2 x}{x^{3} + 1} + \frac{32}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)}$$

Вторая производная

  /                                                         3          ___      4 /      2\       /      2\\
  |    1          3         32              8            6*x      64*\/ x    9*x *\-1 + x /   3*x*\-1 + x /|
2*|- ------ + 10*x  - -------------- - ------------ + --------- + -------- - -------------- + -------------|
  |       3             ___        2    3/2                   2          3             3                2  |
  |  1 + x            \/ x *(1 + x)    x   *(1 + x)   /     3\    (1 + x)      /     3\         /     3\   |
  \                                                   \1 + x /                 \1 + x /         \1 + x /   /

$$2 \left(\frac{64 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{3}} - \frac{9 x^{4} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{3} + 1\right)^{3}} + 10 x^{3} + \frac{6 x^{3}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{3 x \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{3} + 1} - \frac{32}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{8}{x^{\frac{3}{2}} \left(x + 1\right)}\right)$$

Третья производная

  /               2         ___         5                                          2                          3 /      2\       6 /      2\\
  |    2    -1 + x     64*\/ x      18*x           4               8            9*x            32         18*x *\-1 + x /   27*x *\-1 + x /|
6*|10*x  + --------- - -------- - --------- + ------------ + ------------- + --------- + -------------- - --------------- + ---------------|
  |                2          4           3    5/2            3/2        2           2     ___        3              3                 4   |
  |        /     3\    (1 + x)    /     3\    x   *(1 + x)   x   *(1 + x)    /     3\    \/ x *(1 + x)       /     3\          /     3\    |
  \        \1 + x /               \1 + x /                                   \1 + x /                        \1 + x /          \1 + x /    /

$$6 \left(- \frac{64 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{27 x^{6} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{3} + 1\right)^{4}} - \frac{18 x^{5}}{\left(x^{3} + 1\right)^{3}} - \frac{18 x^{3} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{3} + 1\right)^{3}} + 10 x^{2} + \frac{9 x^{2}}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{x^{2} - 1}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{32}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)^{3}} + \frac{8}{x^{\frac{3}{2}} \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{x^{\frac{5}{2}} \left(x + 1\right)}\right)$$