Производная (x^7+2*x^5+4)/(x^2-1)

Вы ввели

 7      5    
x  + 2*x  + 4
-------------
     2       
    x  - 1   

$$\frac{x^{7} + 2 x^{5} + 4}{x^{2} - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{7} + 2 x^{5} + 4$ и $g{\left (x \right )} = x^{2} - 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{7} + 2 x^{5} + 4$ почленно:

      1. Производная постоянной $4$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{7}$ получим $7 x^{6}$

      3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{5}$ получим $5 x^{4}$

         Таким образом, в результате: $10 x^{4}$

      В результате: $7 x^{6} + 10 x^{4}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{2} - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(- 2 x \left(x^{7} + 2 x^{5} + 4\right) + \left(x^{2} - 1\right) \left(7 x^{6} + 10 x^{4}\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \left(5 x^{7} - x^{5} - 10 x^{3} - 8\right)}{x^{4} - 2 x^{2} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{x \left(5 x^{7} - x^{5} - 10 x^{3} - 8\right)}{x^{4} - 2 x^{2} + 1}$

Первая производная

   6       4       / 7      5    \
7*x  + 10*x    2*x*\x  + 2*x  + 4/
------------ - -------------------
    2                       2     
   x  - 1           / 2    \      
                    \x  - 1/      

$$- \frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(x^{7} + 2 x^{5} + 4\right) + \frac{7 x^{6} + 10 x^{4}}{x^{2} - 1}$$

Вторая производная

  /                       7      5      5 /        2\      2 /     7      5\\
  | 3 /         2\   4 + x  + 2*x    2*x *\10 + 7*x /   4*x *\4 + x  + 2*x /|
2*|x *\20 + 21*x / - ------------- - ---------------- + --------------------|
  |                           2                2                      2     |
  |                     -1 + x           -1 + x              /      2\      |
  \                                                          \-1 + x /      /
-----------------------------------------------------------------------------
                                         2                                   
                                   -1 + x                                    

$$\frac{1}{x^{2} - 1} \left(- \frac{4 x^{5} \left(7 x^{2} + 10\right)}{x^{2} - 1} + 2 x^{3} \left(21 x^{2} + 20\right) + \frac{8 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(x^{7} + 2 x^{5} + 4\right) - \frac{1}{x^{2} - 1} \left(2 x^{7} + 4 x^{5} + 8\right)\right)$$

Третья производная

    /  /     7      5\                     3 /        2\      2 /     7      5\      3 /         2\      5 /        2\\
    |4*\4 + x  + 2*x /       /       2\   x *\10 + 7*x /   8*x *\4 + x  + 2*x /   2*x *\20 + 21*x /   4*x *\10 + 7*x /|
6*x*|----------------- + 5*x*\4 + 7*x / - -------------- - -------------------- - ----------------- + ----------------|
    |             2                                2                     3                   2                    2   |
    |    /      2\                           -1 + x             /      2\              -1 + x            /      2\    |
    \    \-1 + x /                                              \-1 + x /                                \-1 + x /    /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                              2                                                        
                                                        -1 + x                                                         

$$\frac{6 x}{x^{2} - 1} \left(\frac{4 x^{5} \left(7 x^{2} + 10\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{x^{3} \left(7 x^{2} + 10\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 x^{3} \left(21 x^{2} + 20\right)}{x^{2} - 1} - \frac{8 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} \left(x^{7} + 2 x^{5} + 4\right) + 5 x \left(7 x^{2} + 4\right) + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(4 x^{7} + 8 x^{5} + 16\right)\right)$$