Производная x^3/(x+2)^3

Вы ввели

    3   
   x    
--------
       3
(x + 2) 

$$\frac{x^{3}}{\left(x + 2\right)^{3}}$$

  /    3   \
d |   x    |
--|--------|
dx|       3|
  \(x + 2) /

$$\frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{\left(x + 2\right)^{3}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{3}$ и $g{\left(x \right)} = \left(x + 2\right)^{3}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x + 2$.

   2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)$:

      1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $3 \left(x + 2\right)^{2}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- 3 x^{3} \left(x + 2\right)^{2} + 3 x^{2} \left(x + 2\right)^{3}}{\left(x + 2\right)^{6}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{6 x^{2}}{\left(x + 2\right)^{4}}$

---

Ответ:

$\frac{6 x^{2}}{\left(x + 2\right)^{4}}$

Первая производная

       3          2  
    3*x        3*x   
- -------- + --------
         4          3
  (x + 2)    (x + 2) 

$$- \frac{3 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{4}} + \frac{3 x^{2}}{\left(x + 2\right)^{3}}$$

Вторая производная

    /                 2  \
    |     3*x      2*x   |
6*x*|1 - ----- + --------|
    |    2 + x          2|
    \            (2 + x) /
--------------------------
                3         
         (2 + x)          

$$\frac{6 x \left(\frac{2 x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{3 x}{x + 2} + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{3}}$$

Третья производная

  /         3                  2  \
  |     10*x       9*x     18*x   |
6*|1 - -------- - ----- + --------|
  |           3   2 + x          2|
  \    (2 + x)            (2 + x) /
-----------------------------------
                     3             
              (2 + x)              

$$\frac{6 \left(- \frac{10 x^{3}}{\left(x + 2\right)^{3}} + \frac{18 x^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{9 x}{x + 2} + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{3}}$$

График