Производная e^x*(x^4+x^3+2*x+1)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

 x / 4    3          \
E *\x  + x  + 2*x + 1/

$$e^{x} \left(2 x + x^{4} + x^{3} + 1\right)$$

Подробное решение

[TeX]

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   $g{\left (x \right )} = 2 x + x^{4} + x^{3} + 1$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $2 x + x^{4} + x^{3} + 1$ почленно:

      1. дифференцируем $2 x + x^{4} + x^{3}$ почленно:

         1. дифференцируем $x^{4} + x^{3}$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

            2. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

            В результате: $4 x^{3} + 3 x^{2}$

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате: $4 x^{3} + 3 x^{2} + 2$

      2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      В результате: $4 x^{3} + 3 x^{2} + 2$

   В результате: $\left(2 x + x^{4} + x^{3} + 1\right) e^{x} + \left(4 x^{3} + 3 x^{2} + 2\right) e^{x}$

2. Теперь упростим:

   $\left(x^{4} + 5 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 3\right) e^{x}$

---

Ответ:

$\left(x^{4} + 5 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 3\right) e^{x}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

/ 4    3          \  x   /       2      3\  x
\x  + x  + 2*x + 1/*e  + \2 + 3*x  + 4*x /*e 

$$\left(2 x + x^{4} + x^{3} + 1\right) e^{x} + \left(4 x^{3} + 3 x^{2} + 2\right) e^{x}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

/     4            2      3                \  x
\5 + x  + 2*x + 6*x  + 9*x  + 6*x*(1 + 2*x)/*e 

$$\left(x^{4} + 9 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x \left(2 x + 1\right) + 2 x + 5\right) e^{x}$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

/      4      2       3                        \  x
\13 + x  + 9*x  + 13*x  + 26*x + 18*x*(1 + 2*x)/*e 

$$\left(x^{4} + 13 x^{3} + 9 x^{2} + 18 x \left(2 x + 1\right) + 26 x + 13\right) e^{x}$$

Упростить