Производная cos(x)/(x+sin(x))

()'

↑ Функция f () ? - производная -го порядка

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
  cos(x)  
----------
x + sin(x)
$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{x + \sin{\left (x \right )}}$$
Подробное решение
[LaTeX]
  1. Применим правило производной частного:

    и .

    Чтобы найти :

    1. Производная косинус есть минус синус:

    Чтобы найти :

    1. дифференцируем почленно:

      1. В силу правила, применим: получим

      2. Производная синуса есть косинус:

      В результате:

    Теперь применим правило производной деления:

  2. Теперь упростим:


Ответ:

График
[LaTeX]
Первая производная
[LaTeX]
    sin(x)     (-1 - cos(x))*cos(x)
- ---------- + --------------------
  x + sin(x)                  2    
                  (x + sin(x))     
$$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{x + \sin{\left (x \right )}} + \frac{\left(- \cos{\left (x \right )} - 1\right) \cos{\left (x \right )}}{\left(x + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}}$$
Вторая производная
[LaTeX]
                                        2                               
          cos(x)*sin(x)   2*(1 + cos(x)) *cos(x)   2*(1 + cos(x))*sin(x)
-cos(x) + ------------- + ---------------------- + ---------------------
            x + sin(x)                    2              x + sin(x)     
                              (x + sin(x))                              
------------------------------------------------------------------------
                               x + sin(x)                               
$$\frac{1}{x + \sin{\left (x \right )}} \left(- \cos{\left (x \right )} + \frac{2 \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}}{x + \sin{\left (x \right )}} + \frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{x + \sin{\left (x \right )}} + \frac{2 \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (x \right )}}{\left(x + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}}\right)$$
Третья производная
[LaTeX]
    2             2                     2                        3                                                                       
 cos (x)     3*sin (x)    6*(1 + cos(x)) *sin(x)   6*(1 + cos(x)) *cos(x)   3*(1 + cos(x))*cos(x)   6*(1 + cos(x))*cos(x)*sin(x)         
---------- - ---------- - ---------------------- - ---------------------- + --------------------- - ---------------------------- + sin(x)
x + sin(x)   x + sin(x)                   2                        3              x + sin(x)                           2                 
                              (x + sin(x))             (x + sin(x))                                        (x + sin(x))                  
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                x + sin(x)                                                               
$$\frac{1}{x + \sin{\left (x \right )}} \left(\sin{\left (x \right )} + \frac{3 \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )}}{x + \sin{\left (x \right )}} - \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )}}{x + \sin{\left (x \right )}} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{x + \sin{\left (x \right )}} - \frac{6 \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \sin{\left (x \right )}}{\left(x + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}} - \frac{6 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\left(x + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}} \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) - \frac{6 \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{3} \cos{\left (x \right )}}{\left(x + \sin{\left (x \right )}\right)^{3}}\right)$$