Производная (x^3-10)/(x^4-8*x)^(1/2)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

    3        
   x  - 10   
-------------
   __________
  /  4       
\/  x  - 8*x 

$$\frac{x^{3} - 10}{\sqrt{x^{4} - 8 x}}$$

Подробное решение

[TeX]

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{3} - 10$ и $g{\left (x \right )} = \sqrt{x^{4} - 8 x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{3} - 10$ почленно:

      1. Производная постоянной $-10$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      В результате: $3 x^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x^{4} - 8 x$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x^{4} - 8 x\right)$:

      1. дифференцируем $x^{4} - 8 x$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-8$

         В результате: $4 x^{3} - 8$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{4 x^{3} - 8}{2 \sqrt{x^{4} - 8 x}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{4} - 8 x} \left(3 x^{2} \sqrt{x^{4} - 8 x} - \frac{\left(x^{3} - 10\right) \left(4 x^{3} - 8\right)}{2 \sqrt{x^{4} - 8 x}}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{6} - 40}{x \sqrt{x \left(x^{3} - 8\right)} \left(x^{3} - 8\right)}$

---

Ответ:

$\frac{x^{6} - 40}{x \sqrt{x \left(x^{3} - 8\right)} \left(x^{3} - 8\right)}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

        2       /        3\ / 3     \
     3*x        \-4 + 2*x /*\x  - 10/
------------- - ---------------------
   __________                 3/2    
  /  4              / 4      \       
\/  x  - 8*x        \x  - 8*x/       

$$\frac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{4} - 8 x}} - \frac{\left(x^{3} - 10\right) \left(2 x^{3} - 4\right)}{\left(x^{4} - 8 x\right)^{\frac{3}{2}}}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                                              2           \
  |      /       3\       /      3\     /      3\  /       3\|
  |    x*\-10 + x /   2*x*\-2 + x /   2*\-2 + x / *\-10 + x /|
6*|x - ------------ - ------------- + -----------------------|
  |            3               3                       2     |
  |      -8 + x          -8 + x             2 /      3\      |
  \                                        x *\-8 + x /      /
--------------------------------------------------------------
                          _____________                       
                         /   /      3\                        
                       \/  x*\-8 + x /                        

$$\frac{1}{\sqrt{x \left(x^{3} - 8\right)}} \left(- \frac{6 x \left(x^{3} - 10\right)}{x^{3} - 8} + 6 x - \frac{12 x \left(x^{3} - 2\right)}{x^{3} - 8} + \frac{12 \left(x^{3} - 10\right) \left(x^{3} - 2\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{3} - 8\right)^{2}}\right)$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                                                       2                                         3           \
  |         3      /      3\     /       3\      /      3\       /       3\ /      3\      /      3\  /       3\|
  |      9*x     6*\-2 + x /   2*\-10 + x /   18*\-2 + x /    18*\-10 + x /*\-2 + x /   20*\-2 + x / *\-10 + x /|
6*|1 - ------- - ----------- - ------------ + ------------- + ----------------------- - ------------------------|
  |          3           3             3                 2                    2                          3      |
  |    -8 + x      -8 + x        -8 + x         /      3\            /      3\                3 /      3\       |
  \                                             \-8 + x /            \-8 + x /               x *\-8 + x /       /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                    _____________                                                
                                                   /   /      3\                                                 
                                                 \/  x*\-8 + x /                                                 

$$\frac{1}{\sqrt{x \left(x^{3} - 8\right)}} \left(- \frac{54 x^{3}}{x^{3} - 8} - \frac{12 x^{3} - 120}{x^{3} - 8} + \frac{108}{\left(x^{3} - 8\right)^{2}} \left(x^{3} - 10\right) \left(x^{3} - 2\right) + 6 - \frac{36 x^{3} - 72}{x^{3} - 8} + \frac{108 \left(x^{3} - 2\right)^{2}}{\left(x^{3} - 8\right)^{2}} - \frac{120 \left(x^{3} - 10\right) \left(x^{3} - 2\right)^{3}}{x^{3} \left(x^{3} - 8\right)^{3}}\right)$$

Упростить