Найти производную y' = f'(x) = 1/(x*sin(x)) (1 делить на (х умножить на синус от (х))) - функции. Найдём значение производной функции в точке. [Есть ОТВЕТ!]

Производная 1/(x*sin(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😉

()'

- производная -го порядка в точке

График:

от до

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   1    
--------
x*sin(x)
$$\frac{1}{x \sin{\left(x \right)}}$$
d /   1    \
--|--------|
dx\x*sin(x)/
$$\frac{d}{d x} \frac{1}{x \sin{\left(x \right)}}$$
Подробное решение
  1. Заменим .

  2. В силу правила, применим: получим

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

    1. Применяем правило производной умножения:

      ; найдём :

      1. В силу правила, применим: получим

      ; найдём :

      1. Производная синуса есть косинус:

      В результате:

    В результате последовательности правил:


Ответ:

График
Первая производная [src]
   1                         
--------*(-sin(x) - x*cos(x))
x*sin(x)                     
-----------------------------
           x*sin(x)          
$$\frac{\frac{1}{x \sin{\left(x \right)}} \left(- x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right)}{x \sin{\left(x \right)}}$$
Вторая производная [src]
                       x*cos(x) + sin(x)   /1   cos(x)\                       (x*cos(x) + sin(x))*cos(x)
-2*cos(x) + x*sin(x) + ----------------- + |- + ------|*(x*cos(x) + sin(x)) + --------------------------
                               x           \x   sin(x)/                                 sin(x)          
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                2    2                                                  
                                               x *sin (x)                                               
$$\frac{x \sin{\left(x \right)} + \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{x}\right) + \frac{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - 2 \cos{\left(x \right)} + \frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x}}{x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}$$
Третья производная [src]
                                                                                                                                                          /1   cos(x)\                                                                                         /1   cos(x)\                                                          
                                                                     /              2              \                                                      |- + ------|*(x*cos(x) + sin(x))        2                                                            |- + ------|*(x*cos(x) + sin(x))*cos(x)                               
           /1   cos(x)\                                              |    2    2*cos (x)   2*cos(x)|   3*(-2*cos(x) + x*sin(x))   3*(x*cos(x) + sin(x))   \x   sin(x)/                       3*cos (x)*(x*cos(x) + sin(x))   3*(-2*cos(x) + x*sin(x))*cos(x)   \x   sin(x)/                              4*(x*cos(x) + sin(x))*cos(x)
2*sin(x) - |- + ------|*(-2*cos(x) + x*sin(x)) - (x*cos(x) + sin(x))*|1 + -- + --------- + --------| - ------------------------ - --------------------- - -------------------------------- - ----------------------------- - ------------------------------- - --------------------------------------- - ----------------------------
           \x   sin(x)/                                              |     2       2       x*sin(x)|              x                          2                           x                                 2                              sin(x)                                sin(x)                             x*sin(x)          
                                                                     \    x     sin (x)            /                                        x                                                           sin (x)                                                                                                                      
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                               2    2                                                                                                                                                                
                                                                                                                                                              x *sin (x)                                                                                                                                                             
$$\frac{- \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{x}\right) - \frac{3 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{x}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}} + \frac{2}{x^{2}}\right) - \frac{3 \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 2 \sin{\left(x \right)} - \frac{3 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right)}{x} - \frac{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{x}\right)}{x} - \frac{4 \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}} - \frac{3 \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)}{x^{2}}}{x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}$$
График
Производная 1/(x*sin(x)) /media/krcore-image-pods/hash/derivative/3/5e/af0cd237c12546dd59a8b2e41020d.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: