Производная 2*sin(5*x-(pi/4))*cos(5*x-(pi/4))

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

     /      pi\    /      pi\
2*sin|5*x - --|*cos|5*x - --|
     \      4 /    \      4 /

$$2 \sin{\left (5 x - \frac{\pi}{4} \right )} \cos{\left (5 x - \frac{\pi}{4} \right )}$$

Подробное решение

[TeX]

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = 2 \sin{\left (5 x - \frac{\pi}{4} \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = 5 x - \frac{\pi}{4}$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(5 x - \frac{\pi}{4}\right)$:

         1. дифференцируем $5 x - \frac{\pi}{4}$ почленно:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $5$

            2. Производная постоянной $- \frac{\pi}{4}$ равна нулю.

            В результате: $5$

         В результате последовательности правил:

         $5 \cos{\left (5 x - \frac{\pi}{4} \right )}$

      Таким образом, в результате: $10 \cos{\left (5 x - \frac{\pi}{4} \right )}$

   $g{\left (x \right )} = \cos{\left (5 x - \frac{\pi}{4} \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = 5 x - \frac{\pi}{4}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(5 x - \frac{\pi}{4}\right)$:

      1. дифференцируем $5 x - \frac{\pi}{4}$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $5$

         2. Производная постоянной $- \frac{\pi}{4}$ равна нулю.

         В результате: $5$

      В результате последовательности правил:

      $- 5 \sin{\left (5 x - \frac{\pi}{4} \right )}$

   В результате: $- 10 \sin^{2}{\left (5 x - \frac{\pi}{4} \right )} + 10 \cos^{2}{\left (5 x - \frac{\pi}{4} \right )}$

2. Теперь упростим:

   $10 \sin{\left (10 x \right )}$

---

Ответ:

$10 \sin{\left (10 x \right )}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

        2/      pi\         2/      pi\
- 10*sin |5*x - --| + 10*cos |5*x - --|
         \      4 /          \      4 /

$$- 10 \sin^{2}{\left (5 x - \frac{\pi}{4} \right )} + 10 \cos^{2}{\left (5 x - \frac{\pi}{4} \right )}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

       /      pi\    /      pi\
200*cos|5*x + --|*sin|5*x + --|
       \      4 /    \      4 /

$$200 \sin{\left (5 x + \frac{\pi}{4} \right )} \cos{\left (5 x + \frac{\pi}{4} \right )}$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

     /   2/      pi\      2/      pi\\
1000*|cos |5*x + --| - sin |5*x + --||
     \    \      4 /       \      4 //

$$1000 \left(- \sin^{2}{\left (5 x + \frac{\pi}{4} \right )} + \cos^{2}{\left (5 x + \frac{\pi}{4} \right )}\right)$$

Упростить