Производная 3*sqrt((x^5+5*x^4-log(5))/x^1)

()'

↑ Функция f () ? - производная -го порядка

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
        ____________________
       /  5      4          
      /  x  + 5*x  - log(5) 
3*   /   ------------------ 
    /             1         
  \/             x          
$$3 \sqrt{\frac{1}{x^{1}} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)}$$
Подробное решение
[TeX]
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

    1. Заменим .

    2. В силу правила, применим: получим

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

      1. Применим правило производной частного:

        и .

        Чтобы найти :

        1. дифференцируем почленно:

          1. В силу правила, применим: получим

          2. Производная постоянной равна нулю.

          3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: получим

            Таким образом, в результате:

          В результате:

        Чтобы найти :

        1. В силу правила, применим: получим

        Теперь применим правило производной деления:

      В результате последовательности правил:

    Таким образом, в результате:

  2. Теперь упростим:


Ответ:

График
Первая производная
[TeX]
[pretty]
[text]
         ____________________                                    
        /  5      4           /   4       3    5      4         \
       /  x  + 5*x  - log(5)  |5*x  + 20*x    x  + 5*x  - log(5)|
3*x*  /   ------------------ *|------------ - ------------------|
    \/            x           |    2*x                  2       |
                              \                      2*x        /
-----------------------------------------------------------------
                         5      4                                
                        x  + 5*x  - log(5)                       
$$\frac{3 x \sqrt{\frac{1}{x} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)}}{x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}} \left(\frac{1}{2 x} \left(5 x^{4} + 20 x^{3}\right) - \frac{1}{2 x^{2}} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)\right)$$
Вторая производная
[TeX]
[pretty]
[text]
                            /                                                                                                                                      2                                                     \
                            |                                                                                                 /   5               4               \                 /   5               4               \|
                            |                                                                                               2 |  x  - log(5) + 5*x       2        |       4         |  x  - log(5) + 5*x       2        ||
       ____________________ |                                                                                              x *|- ------------------ + 5*x *(4 + x)|    5*x *(4 + x)*|- ------------------ + 5*x *(4 + x)||
      /  5               4  |    /   5               4                             \    5               4      2              |           2                       |                 |           2                       ||
     /  x  - log(5) + 5*x   |    |  x  - log(5) + 5*x                              |   x  - log(5) + 5*x    5*x *(4 + x)      \          x                        /                 \          x                        /|
3*  /   ------------------ *|- x*|- ------------------ - 10*x*(3 + x) + 5*x*(4 + x)| - ------------------ + ------------ + ----------------------------------------- - --------------------------------------------------|
  \/            x           |    |           3                                     |             2               2                     / 5               4\                            / 5               4\              |
                            \    \          x                                      /          2*x                                    4*\x  - log(5) + 5*x /                          2*\x  - log(5) + 5*x /              /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                     5               4                                                                                                    
                                                                                                    x  - log(5) + 5*x                                                                                                     
$$\frac{3 \sqrt{\frac{1}{x} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)}}{x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}} \left(- \frac{5 x^{4} \left(x + 4\right) \left(5 x^{2} \left(x + 4\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)\right)}{2 x^{5} + 10 x^{4} - 2 \log{\left (5 \right )}} + \frac{5 x^{2}}{2} \left(x + 4\right) + \frac{x^{2} \left(5 x^{2} \left(x + 4\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)\right)^{2}}{4 x^{5} + 20 x^{4} - 4 \log{\left (5 \right )}} - x \left(- 10 x \left(x + 3\right) + 5 x \left(x + 4\right) - \frac{1}{x^{3}} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)\right) - \frac{1}{2 x^{2}} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)\right)$$
Третья производная
[TeX]
[pretty]
[text]
                            /                                                                                                                                      3                                            2                                                                                                                                                                                                                                                                                    2                                                                                                         \
                            |                                                                                                 /   5               4               \        /   5               4               \                  /   5               4               \                /   5               4               \                 /   5               4                             \                  /   5               4               \         /   5               4               \                 /   5               4               \ /   5               4                             \|
                            |                                                                                               3 |  x  - log(5) + 5*x       2        |        |  x  - log(5) + 5*x       2        |        3         |  x  - log(5) + 5*x       2        |      3         |  x  - log(5) + 5*x       2        |       4         |  x  - log(5) + 5*x                              |       7        2 |  x  - log(5) + 5*x       2        |       5 |  x  - log(5) + 5*x       2        |               2 |  x  - log(5) + 5*x       2        | |  x  - log(5) + 5*x                              ||
       ____________________ |                                                                                              x *|- ------------------ + 5*x *(4 + x)|    3*x*|- ------------------ + 5*x *(4 + x)|    10*x *(3 + x)*|- ------------------ + 5*x *(4 + x)|   5*x *(4 + x)*|- ------------------ + 5*x *(4 + x)|   10*x *(4 + x)*|- ------------------ - 10*x*(3 + x) + 5*x*(4 + x)|   25*x *(4 + x) *|- ------------------ + 5*x *(4 + x)|   15*x *|- ------------------ + 5*x *(4 + x)| *(4 + x)   3*x *|- ------------------ + 5*x *(4 + x)|*|- ------------------ - 10*x*(3 + x) + 5*x*(4 + x)||
      /  5               4  |                  / 5               4\       /            5               4\                     |           2                       |        |           2                       |                  |           2                       |                |           2                       |                 |           3                                     |                  |           2                       |         |           2                       |                 |           2                       | |           3                                     ||
     /  x  - log(5) + 5*x   |                2*\x  - log(5) + 5*x /       |           x  - log(5) + 5*x |                     \          x                        /        \          x                        /                  \          x                        /                \          x                        /                 \          x                                      /                  \          x                        /         \          x                        /                 \          x                        / \          x                                      /|
3*  /   ------------------ *|-10*x*(4 + x) + ---------------------- + 3*x*|10 + 5*x - ------------------| + 20*x*(3 + x) + ----------------------------------------- + ------------------------------------------ - --------------------------------------------------- - -------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------- + ---------------------------------------------------- - ---------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------------------|
  \/            x           |                           3                 |                    4        |                                                 2                        / 5               4\                               5               4                                    5               4                                            5               4                                                             2                                                       2                                                        / 5               4\                                    |
                            |                          x                  \                   x         /                             / 5               4\                       4*\x  - log(5) + 5*x /                              x  - log(5) + 5*x                                    x  - log(5) + 5*x                                            x  - log(5) + 5*x                                          / 5               4\                                    / 5               4\                                                       2*\x  - log(5) + 5*x /                                    |
                            \                                                                                                       8*\x  - log(5) + 5*x /                                                                                                                                                                                                                                                        \x  - log(5) + 5*x /                                  4*\x  - log(5) + 5*x /                                                                                                                 /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                                                                                                5               4                                                                                                                                                                                                                                                                                               
                                                                                                                                                                                                                                                                                               x  - log(5) + 5*x                                                                                                                                                                                                                                                                                                
$$\frac{3 \sqrt{\frac{1}{x} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)}}{x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}} \left(\frac{25 x^{7} \left(x + 4\right)^{2}}{\left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)^{2}} \left(5 x^{2} \left(x + 4\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)\right) - \frac{15 x^{5} \left(5 x^{2} \left(x + 4\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)\right)^{2}}{4 \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)^{2}} \left(x + 4\right) + \frac{10 x^{4}}{x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}} \left(x + 4\right) \left(- 10 x \left(x + 3\right) + 5 x \left(x + 4\right) - \frac{1}{x^{3}} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)\right) - \frac{10 x^{3}}{x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}} \left(x + 3\right) \left(5 x^{2} \left(x + 4\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)\right) - \frac{5 x^{3}}{x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}} \left(x + 4\right) \left(5 x^{2} \left(x + 4\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)\right) + \frac{x^{3} \left(5 x^{2} \left(x + 4\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)\right)^{3}}{8 \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)^{2}} - \frac{3 x^{2}}{2 x^{5} + 10 x^{4} - 2 \log{\left (5 \right )}} \left(5 x^{2} \left(x + 4\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)\right) \left(- 10 x \left(x + 3\right) + 5 x \left(x + 4\right) - \frac{1}{x^{3}} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)\right) + 20 x \left(x + 3\right) - 10 x \left(x + 4\right) + \frac{3 x \left(5 x^{2} \left(x + 4\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)\right)^{2}}{4 x^{5} + 20 x^{4} - 4 \log{\left (5 \right )}} + 3 x \left(5 x + 10 - \frac{1}{x^{4}} \left(x^{5} + 5 x^{4} - \log{\left (5 \right )}\right)\right) + \frac{1}{x^{3}} \left(2 x^{5} + 10 x^{4} - 2 \log{\left (5 \right )}\right)\right)$$