Производная ((e^(z-1)-1)/(z*(z+1)^3*(z-1)))

Вы ввели

     z - 1        
    E      - 1    
------------------
         3        
z*(z + 1) *(z - 1)

$$\frac{e^{z - 1} - 1}{z \left(z + 1\right)^{3} \left(z - 1\right)}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d z}\left(\frac{f{\left (z \right )}}{g{\left (z \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (z \right )}} \left(- f{\left (z \right )} \frac{d}{d z} g{\left (z \right )} + g{\left (z \right )} \frac{d}{d z} f{\left (z \right )}\right)$

   $f{\left (z \right )} = e^{z - 1} - 1$ и $g{\left (z \right )} = z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{3}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d z} f{\left (z \right )}$:

   1. дифференцируем $e^{z - 1} - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. Заменим $u = z - 1$.

      3. Производная $e^{u}$ само оно.

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d z}\left(z - 1\right)$:

         1. дифференцируем $z - 1$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $z$ получим $1$

            2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $e^{z - 1}$

      В результате: $e^{z - 1}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d z} g{\left (z \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d z}\left(f{\left (z \right )} g{\left (z \right )} h{\left (z \right )}\right) = f{\left (z \right )} g{\left (z \right )} \frac{d}{d z} h{\left (z \right )} + f{\left (z \right )} h{\left (z \right )} \frac{d}{d z} g{\left (z \right )} + g{\left (z \right )} h{\left (z \right )} \frac{d}{d z} f{\left (z \right )}$

      $f{\left (z \right )} = z$; найдём $\frac{d}{d z} f{\left (z \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $z$ получим $1$

      $g{\left (z \right )} = \left(z + 1\right)^{3}$; найдём $\frac{d}{d z} g{\left (z \right )}$:

      1. Заменим $u = z + 1$.

      2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d z}\left(z + 1\right)$:

         1. дифференцируем $z + 1$ почленно:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $z$ получим $1$

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $3 \left(z + 1\right)^{2}$

      $h{\left (z \right )} = z - 1$; найдём $\frac{d}{d z} h{\left (z \right )}$:

      1. дифференцируем $z - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $z$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате: $3 z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{2} + z \left(z + 1\right)^{3} + \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{3}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{z^{2} \left(z - 1\right)^{2} \left(z + 1\right)^{6}} \left(z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{3} e^{z - 1} - \left(e^{z - 1} - 1\right) \left(3 z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{2} + z \left(z + 1\right)^{3} + \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{3}\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{z^{2} \left(z - 1\right)^{2} \left(z + 1\right)^{4}} \left(z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right) e^{z - 1} - \left(e^{z - 1} - 1\right) \left(3 z \left(z - 1\right) + z \left(z + 1\right) + \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)\right)\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{z^{2} \left(z - 1\right)^{2} \left(z + 1\right)^{4}} \left(z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right) e^{z - 1} - \left(e^{z - 1} - 1\right) \left(3 z \left(z - 1\right) + z \left(z + 1\right) + \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)\right)\right)$

Первая производная

                            / z - 1    \ /           3           /       3              2\\
        1           z - 1   \E      - 1/*\- z*(z + 1)  - (z - 1)*\(z + 1)  + 3*z*(z + 1) //
------------------*e      + ---------------------------------------------------------------
         3                                         2        6        2                     
z*(z + 1) *(z - 1)                                z *(z + 1) *(z - 1)                      

$$\frac{1}{z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{3}} e^{z - 1} + \frac{1}{z^{2} \left(z - 1\right)^{2} \left(z + 1\right)^{6}} \left(e^{z - 1} - 1\right) \left(- z \left(z + 1\right)^{3} - \left(z - 1\right) \left(3 z \left(z + 1\right)^{2} + \left(z + 1\right)^{3}\right)\right)$$

Упростить

Вторая производная

                                                                   -1 + z     /      -1 + z\ /       2                                     \     /      -1 + z\                                      /      -1 + z\                                      /      -1 + z\                                           
  /1     1        3  \  -1 + z   (z*(1 + z) + (1 + 4*z)*(-1 + z))*e         2*\-1 + e      /*\(1 + z)  + 3*z*(1 + z) + 3*(1 + 2*z)*(-1 + z)/   2*\-1 + e      /*(z*(1 + z) + (1 + 4*z)*(-1 + z))   2*\-1 + e      /*(z*(1 + z) + (1 + 4*z)*(-1 + z))   6*\-1 + e      /*(z*(1 + z) + (1 + 4*z)*(-1 + z))    -1 + z
- |- + ------ + -----|*e       - ---------------------------------------- - ---------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------- + ------------------------------------------------- + ------------------------------------------------- + e      
  \z   -1 + z   1 + z/                      z*(1 + z)*(-1 + z)                                             2                                                                    2                                  2                                                           2                                  
                                                                                                  z*(1 + z) *(-1 + z)                                         z*(1 + z)*(-1 + z)                                  z *(1 + z)*(-1 + z)                                 z*(1 + z) *(-1 + z)                         
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                        3                                                                                                                                                         
                                                                                                                                               z*(1 + z) *(-1 + z)                                                                                                                                                

$$\frac{1}{z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{3}} \left(- \left(\frac{3}{z + 1} + \frac{1}{z - 1} + \frac{1}{z}\right) e^{z - 1} + e^{z - 1} - \frac{e^{z - 1}}{z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)} \left(z \left(z + 1\right) + \left(z - 1\right) \left(4 z + 1\right)\right) + \frac{6}{z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{2}} \left(z \left(z + 1\right) + \left(z - 1\right) \left(4 z + 1\right)\right) \left(e^{z - 1} - 1\right) - \frac{2}{z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{2}} \left(e^{z - 1} - 1\right) \left(3 z \left(z + 1\right) + 3 \left(z - 1\right) \left(2 z + 1\right) + \left(z + 1\right)^{2}\right) + \frac{2}{z \left(z - 1\right)^{2} \left(z + 1\right)} \left(z \left(z + 1\right) + \left(z - 1\right) \left(4 z + 1\right)\right) \left(e^{z - 1} - 1\right) + \frac{2}{z^{2} \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)} \left(z \left(z + 1\right) + \left(z - 1\right) \left(4 z + 1\right)\right) \left(e^{z - 1} - 1\right)\right)$$

Упростить

Третья производная

   -1 + z    -1 + z                                     -1 + z                                                                                                                         -1 + z      /      -1 + z\                                       /      -1 + z\                                       /      -1 + z\                                      /      -1 + z\                                      /      -1 + z\                                      /      -1 + z\ /         2                                   \     /      -1 + z\                                      /       2                                     \  -1 + z                                       -1 + z                                       -1 + z     /      -1 + z\ /       2                                     \     /      -1 + z\ /       2                                     \                                        -1 + z      /      -1 + z\ /       2                                     \          
  e         e         /1     1        3  \  -1 + z   3*e           /1        1          6           1            3              3        \  -1 + z   (z*(1 + z) + (1 + 4*z)*(-1 + z))*e         42*\-1 + e      /*(z*(1 + z) + (1 + 4*z)*(-1 + z))   24*\-1 + e      /*(z*(1 + z) + (1 + 4*z)*(-1 + z))   24*\-1 + e      /*(z*(1 + z) + (1 + 4*z)*(-1 + z))   8*\-1 + e      /*(z*(1 + z) + (1 + 4*z)*(-1 + z))   6*\-1 + e      /*(z*(1 + z) + (1 + 4*z)*(-1 + z))   6*\-1 + e      /*\3*(1 + z)  + (-1 + z)*(3 + 4*z) + 3*z*(1 + z)/   6*\-1 + e      /*(z*(1 + z) + (1 + 4*z)*(-1 + z))   4*\(1 + z)  + 3*z*(1 + z) + 3*(1 + 2*z)*(-1 + z)/*e         4*(z*(1 + z) + (1 + 4*z)*(-1 + z))*e         4*(z*(1 + z) + (1 + 4*z)*(-1 + z))*e         8*\-1 + e      /*\(1 + z)  + 3*z*(1 + z) + 3*(1 + 2*z)*(-1 + z)/   8*\-1 + e      /*\(1 + z)  + 3*z*(1 + z) + 3*(1 + 2*z)*(-1 + z)/   12*(z*(1 + z) + (1 + 4*z)*(-1 + z))*e         24*\-1 + e      /*\(1 + z)  + 3*z*(1 + z) + 3*(1 + 2*z)*(-1 + z)/    -1 + z
- ------- - ------- - |- + ------ + -----|*e       - --------- + 2*|-- + --------- + -------- + ---------- + --------- + ----------------|*e       - ---------------------------------------- - -------------------------------------------------- - -------------------------------------------------- - -------------------------------------------------- - ------------------------------------------------- - ------------------------------------------------- - ---------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------- - --------------------------------------------------------- + ------------------------------------------ + ------------------------------------------ + ---------------------------------------------------------------- + ---------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------- + e      
     z       -1 + z   \z   -1 + z   1 + z/             1 + z       | 2           2          2   z*(-1 + z)   z*(1 + z)   (1 + z)*(-1 + z)|                      z*(1 + z)*(-1 + z)                                      3                                                    2         2                                  2        2                                           2                 2                                                  3                                                 3                                                   3                                                               2                                                            2                           2                                                               2         2                                                2        2                                                       2                                                        3                                          
                                                                   \z    (-1 + z)    (1 + z)                                             /                                                                     z*(1 + z) *(-1 + z)                                  z*(1 + z) *(-1 + z)                                  z *(1 + z) *(-1 + z)                                 z *(1 + z)*(-1 + z)                                 z*(1 + z)*(-1 + z)                                         z*(1 + z) *(-1 + z)                                         z *(1 + z)*(-1 + z)                                     z*(1 + z) *(-1 + z)                                 z*(1 + z)*(-1 + z)                           z *(1 + z)*(-1 + z)                                     z*(1 + z) *(-1 + z)                                                z *(1 + z) *(-1 + z)                                     z*(1 + z) *(-1 + z)                                      z*(1 + z) *(-1 + z)                                 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         3                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                z*(1 + z) *(-1 + z)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

$$\frac{1}{z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{3}} \left(- \left(\frac{3}{z + 1} + \frac{1}{z - 1} + \frac{1}{z}\right) e^{z - 1} + 2 \left(\frac{6}{\left(z + 1\right)^{2}} + \frac{3}{\left(z - 1\right) \left(z + 1\right)} + \frac{1}{\left(z - 1\right)^{2}} + \frac{3}{z \left(z + 1\right)} + \frac{1}{z \left(z - 1\right)} + \frac{1}{z^{2}}\right) e^{z - 1} + e^{z - 1} - \frac{3 e^{z - 1}}{z + 1} - \frac{e^{z - 1}}{z - 1} - \frac{1}{z} e^{z - 1} - \frac{e^{z - 1}}{z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)} \left(z \left(z + 1\right) + \left(z - 1\right) \left(4 z + 1\right)\right) + \frac{12 e^{z - 1}}{z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{2}} \left(z \left(z + 1\right) + \left(z - 1\right) \left(4 z + 1\right)\right) - \frac{4 e^{z - 1}}{z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{2}} \left(3 z \left(z + 1\right) + 3 \left(z - 1\right) \left(2 z + 1\right) + \left(z + 1\right)^{2}\right) - \frac{42}{z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{3}} \left(z \left(z + 1\right) + \left(z - 1\right) \left(4 z + 1\right)\right) \left(e^{z - 1} - 1\right) + \frac{24}{z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{3}} \left(e^{z - 1} - 1\right) \left(3 z \left(z + 1\right) + 3 \left(z - 1\right) \left(2 z + 1\right) + \left(z + 1\right)^{2}\right) - \frac{6}{z \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{3}} \left(e^{z - 1} - 1\right) \left(3 z \left(z + 1\right) + \left(z - 1\right) \left(4 z + 3\right) + 3 \left(z + 1\right)^{2}\right) + \frac{4 e^{z - 1}}{z \left(z - 1\right)^{2} \left(z + 1\right)} \left(z \left(z + 1\right) + \left(z - 1\right) \left(4 z + 1\right)\right) - \frac{24}{z \left(z - 1\right)^{2} \left(z + 1\right)^{2}} \left(z \left(z + 1\right) + \left(z - 1\right) \left(4 z + 1\right)\right) \left(e^{z - 1} - 1\right) + \frac{8}{z \left(z - 1\right)^{2} \left(z + 1\right)^{2}} \left(e^{z - 1} - 1\right) \left(3 z \left(z + 1\right) + 3 \left(z - 1\right) \left(2 z + 1\right) + \left(z + 1\right)^{2}\right) - \frac{6}{z \left(z - 1\right)^{3} \left(z + 1\right)} \left(z \left(z + 1\right) + \left(z - 1\right) \left(4 z + 1\right)\right) \left(e^{z - 1} - 1\right) + \frac{4 e^{z - 1}}{z^{2} \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)} \left(z \left(z + 1\right) + \left(z - 1\right) \left(4 z + 1\right)\right) - \frac{24}{z^{2} \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{2}} \left(z \left(z + 1\right) + \left(z - 1\right) \left(4 z + 1\right)\right) \left(e^{z - 1} - 1\right) + \frac{8}{z^{2} \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)^{2}} \left(e^{z - 1} - 1\right) \left(3 z \left(z + 1\right) + 3 \left(z - 1\right) \left(2 z + 1\right) + \left(z + 1\right)^{2}\right) - \frac{8}{z^{2} \left(z - 1\right)^{2} \left(z + 1\right)} \left(z \left(z + 1\right) + \left(z - 1\right) \left(4 z + 1\right)\right) \left(e^{z - 1} - 1\right) - \frac{6}{z^{3} \left(z - 1\right) \left(z + 1\right)} \left(z \left(z + 1\right) + \left(z - 1\right) \left(4 z + 1\right)\right) \left(e^{z - 1} - 1\right)\right)$$

Упростить