Производная z^2*sin(1/z)

Вы ввели

 2    /1\
z *sin|-|
      \z/

$$z^{2} \sin{\left (\frac{1}{z} \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d z}\left(f{\left (z \right )} g{\left (z \right )}\right) = f{\left (z \right )} \frac{d}{d z} g{\left (z \right )} + g{\left (z \right )} \frac{d}{d z} f{\left (z \right )}$

   $f{\left (z \right )} = z^{2}$; найдём $\frac{d}{d z} f{\left (z \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $z^{2}$ получим $2 z$

   $g{\left (z \right )} = \sin{\left (\frac{1}{z} \right )}$; найдём $\frac{d}{d z} g{\left (z \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{1}{z}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d z} \frac{1}{z}$:

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{z}$ получим $- \frac{1}{z^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{z^{2}} \cos{\left (\frac{1}{z} \right )}$

   В результате: $2 z \sin{\left (\frac{1}{z} \right )} - \cos{\left (\frac{1}{z} \right )}$

---

Ответ:

$2 z \sin{\left (\frac{1}{z} \right )} - \cos{\left (\frac{1}{z} \right )}$

Первая производная

     /1\          /1\
- cos|-| + 2*z*sin|-|
     \z/          \z/

$$2 z \sin{\left (\frac{1}{z} \right )} - \cos{\left (\frac{1}{z} \right )}$$

Упростить

Вторая производная

              /1\        /1\
           sin|-|   2*cos|-|
     /1\      \z/        \z/
2*sin|-| - ------ - --------
     \z/      2        z    
             z              

$$2 \sin{\left (\frac{1}{z} \right )} - \frac{2}{z} \cos{\left (\frac{1}{z} \right )} - \frac{1}{z^{2}} \sin{\left (\frac{1}{z} \right )}$$

Упростить

Третья производная

   /1\
cos|-|
   \z/
------
   4  
  z   

$$\frac{1}{z^{4}} \cos{\left (\frac{1}{z} \right )}$$

Упростить