Производная (x^2+1)/(x^3+x)

()'

↑ Функция f () ? - производная -го порядка

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
 2    
x  + 1
------
 3    
x  + x
$$\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x}$$
Подробное решение
[LaTeX]
  1. Применим правило производной частного:

    и .

    Чтобы найти :

    1. дифференцируем почленно:

      1. Производная постоянной равна нулю.

      2. В силу правила, применим: получим

      В результате:

    Чтобы найти :

    1. дифференцируем почленно:

      1. В силу правила, применим: получим

      2. В силу правила, применим: получим

      В результате:

    Теперь применим правило производной деления:

  2. Теперь упростим:


Ответ:

График
[LaTeX]
Первая производная
[LaTeX]
         /        2\ / 2    \
 2*x     \-1 - 3*x /*\x  + 1/
------ + --------------------
 3                    2      
x  + x        / 3    \       
              \x  + x/       
$$\frac{2 x}{x^{3} + x} + \frac{1}{\left(x^{3} + x\right)^{2}} \left(- 3 x^{2} - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)$$
Вторая производная
[LaTeX]
  /                              2\
  |       /       2\   /       2\ |
  |     2*\1 + 3*x /   \1 + 3*x / |
2*|-2 - ------------ + -----------|
  |             2       2 /     2\|
  \        1 + x       x *\1 + x //
-----------------------------------
               /     2\            
             x*\1 + x /            
$$\frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)} \left(-4 - \frac{12 x^{2} + 4}{x^{2} + 1} + \frac{2 \left(3 x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
Третья производная
[LaTeX]
  /                          3                2               \
  |                /       2\       /       2\      /       2\|
  |  1      6      \1 + 3*x /     2*\1 + 3*x /    5*\1 + 3*x /|
6*|- -- - ------ - ------------ + ------------- + ------------|
  |   2        2              2               2    2 /     2\ |
  |  x    1 + x     4 /     2\      2 /     2\    x *\1 + x / |
  \                x *\1 + x /     x *\1 + x /                /
---------------------------------------------------------------
                                  2                            
                             1 + x                             
$$\frac{1}{x^{2} + 1} \left(- \frac{36}{x^{2} + 1} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{90 x^{2} + 30}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{12 \left(3 x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{6 \left(3 x^{2} + 1\right)^{3}}{x^{4} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)$$