Производная (1/(p^(4)-p^(2)))*((-1/(p^(4)-1))+(p^(2)/(p^(4)+1)))

()'

↑ Функция f () ? - производная -го порядка

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
              2  
    1        p   
- ------ + ------
   4        4    
  p  - 1   p  + 1
-----------------
      4    2     
     p  - p      
$$\frac{1}{p^{4} - p^{2}} \left(\frac{p^{2}}{p^{4} + 1} - \frac{1}{p^{4} - 1}\right)$$
Подробное решение
[TeX]
  1. Применим правило производной частного:

    и .

    Чтобы найти :

    1. дифференцируем почленно:

      1. Производная постоянной равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: получим

        Таким образом, в результате:

      3. Применяем правило производной умножения:

        ; найдём :

        1. В силу правила, применим: получим

        ; найдём :

        1. дифференцируем почленно:

          1. Производная постоянной равна нулю.

          2. В силу правила, применим: получим

          В результате:

        В результате:

      В результате:

    Чтобы найти :

    1. Применяем правило производной умножения:

      ; найдём :

      1. дифференцируем почленно:

        1. Производная постоянной равна нулю.

        2. В силу правила, применим: получим

        В результате:

      ; найдём :

      1. дифференцируем почленно:

        1. Производная постоянной равна нулю.

        2. В силу правила, применим: получим

        В результате:

      ; найдём :

      1. дифференцируем почленно:

        1. В силу правила, применим: получим

        2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: получим

          Таким образом, в результате:

        В результате:

      В результате:

    Теперь применим правило производной деления:

  2. Теперь упростим:


Ответ:

График
Первая производная
[TeX]
[pretty]
[text]
        5                    3                                       
     4*p       2*p        4*p      /              2  \               
- --------- + ------ + ---------   |    1        p   | /     3      \
          2    4               2   |- ------ + ------|*\- 4*p  + 2*p/
  / 4    \    p  + 1   / 4    \    |   4        4    |               
  \p  + 1/             \p  - 1/    \  p  - 1   p  + 1/               
-------------------------------- + ----------------------------------
             4    2                                     2            
            p  - p                             / 4    2\             
                                               \p  - p /             
$$\frac{1}{\left(p^{4} - p^{2}\right)^{2}} \left(- 4 p^{3} + 2 p\right) \left(\frac{p^{2}}{p^{4} + 1} - \frac{1}{p^{4} - 1}\right) + \frac{1}{p^{4} - p^{2}} \left(- \frac{4 p^{5}}{\left(p^{4} + 1\right)^{2}} + \frac{4 p^{3}}{\left(p^{4} - 1\right)^{2}} + \frac{2 p}{p^{4} + 1}\right)$$
Вторая производная
[TeX]
[pretty]
[text]
  /                                                                         /               4           2   \                                                                         \
  |                                                             /        2\ |  1         2*p         2*p    |               /               2  \                2 /               2  \|
  |                                                           4*\-1 + 2*p /*|------ - --------- + ----------|   /        2\ |     1        p   |     /        2\  |     1        p   ||
  |                                                                         |     4           2            2|   \-1 + 6*p /*|- ------- + ------|   4*\-1 + 2*p / *|- ------- + ------||
  |               6            4           2            8                   |1 + p    /     4\    /      4\ |               |        4        4|                  |        4        4||
  |  1        16*p         14*p         6*p         16*p                    \         \1 + p /    \-1 + p / /               \  -1 + p    1 + p /                  \  -1 + p    1 + p /|
2*|------ - ---------- - --------- + ---------- + --------- - ----------------------------------------------- - -------------------------------- + -----------------------------------|
  |     4            3           2            2           3                             2                                  2 /      2\                                    2           |
  |1 + p    /      4\    /     4\    /      4\    /     4\                        -1 + p                                  p *\-1 + p /                         2 /      2\            |
  \         \-1 + p /    \1 + p /    \-1 + p /    \1 + p /                                                                                                    p *\-1 + p /            /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                       2 /      2\                                                                                     
                                                                                      p *\-1 + p /                                                                                     
$$\frac{1}{p^{2} \left(p^{2} - 1\right)} \left(\frac{32 p^{8}}{\left(p^{4} + 1\right)^{3}} - \frac{32 p^{6}}{\left(p^{4} - 1\right)^{3}} - \frac{28 p^{4}}{\left(p^{4} + 1\right)^{2}} + \frac{12 p^{2}}{\left(p^{4} - 1\right)^{2}} + \frac{2}{p^{4} + 1} - \frac{8}{p^{2} - 1} \left(2 p^{2} - 1\right) \left(- \frac{2 p^{4}}{\left(p^{4} + 1\right)^{2}} + \frac{2 p^{2}}{\left(p^{4} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{p^{4} + 1}\right) - \frac{2}{p^{2} \left(p^{2} - 1\right)} \left(6 p^{2} - 1\right) \left(\frac{p^{2}}{p^{4} + 1} - \frac{1}{p^{4} - 1}\right) + \frac{8 \left(2 p^{2} - 1\right)^{2}}{p^{2} \left(p^{2} - 1\right)^{2}} \left(\frac{p^{2}}{p^{4} + 1} - \frac{1}{p^{4} - 1}\right)\right)$$
Третья производная
[TeX]
[pretty]
[text]
   /                                                                                                                /               6            4           2            8  \               /               4           2   \                                                      2 /               4           2   \                                                 \
   |                                                                             /               2  \   /        2\ |  1        16*p         14*p         6*p         16*p   |   /        2\ |  1         2*p         2*p    |                3 /               2  \     /        2\  |  1         2*p         2*p    |                             /               2  \|
   |                                                                             |     1        p   |   \-1 + 2*p /*|------ - ---------- - --------- + ---------- + ---------|   \-1 + 6*p /*|------ - --------- + ----------|     /        2\  |     1        p   |   4*\-1 + 2*p / *|------ - --------- + ----------|     /        2\ /        2\ |     1        p   ||
   |                                                                           2*|- ------- + ------|               |     4            3           2            2           3|               |     4           2            2|   4*\-1 + 2*p / *|- ------- + ------|                  |     4           2            2|   2*\-1 + 2*p /*\-1 + 6*p /*|- ------- + ------||
   |                   10          4            2           8            6       |        4        4|               |1 + p    /      4\    /     4\    /      4\    /     4\ |               |1 + p    /     4\    /      4\ |                  |        4        4|                  |1 + p    /     4\    /      4\ |                             |        4        4||
   |    2          32*p        24*p         10*p        32*p         40*p        \  -1 + p    1 + p /               \         \-1 + p /    \1 + p /    \-1 + p /    \1 + p / /               \         \1 + p /    \-1 + p / /                  \  -1 + p    1 + p /                  \         \1 + p /    \-1 + p / /                             \  -1 + p    1 + p /|
12*|---------- - --------- - ---------- - --------- + ---------- + --------- - ---------------------- - ---------------------------------------------------------------------- - --------------------------------------------- - ----------------------------------- + ------------------------------------------------ + ----------------------------------------------|
   |         2           4            3           2            4           3         2 /      2\                                      2 /      2\                                                  2 /      2\                                          3                                           2                                                 2                 |
   |/      4\    /     4\    /      4\    /     4\    /      4\    /     4\         p *\-1 + p /                                     p *\-1 + p /                                                 p *\-1 + p /                               4 /      2\                                 2 /      2\                                       4 /      2\                  |
   \\-1 + p /    \1 + p /    \-1 + p /    \1 + p /    \-1 + p /    \1 + p /                                                                                                                                                                 p *\-1 + p /                                p *\-1 + p /                                      p *\-1 + p /                  /
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                 /      2\                                                                                                                                                                               
                                                                                                                                                                               p*\-1 + p /                                                                                                                                                                               
$$\frac{1}{p \left(p^{2} - 1\right)} \left(- \frac{384 p^{10}}{\left(p^{4} + 1\right)^{4}} + \frac{384 p^{8}}{\left(p^{4} - 1\right)^{4}} + \frac{480 p^{6}}{\left(p^{4} + 1\right)^{3}} - \frac{288 p^{4}}{\left(p^{4} - 1\right)^{3}} - \frac{120 p^{2}}{\left(p^{4} + 1\right)^{2}} + \frac{24}{\left(p^{4} - 1\right)^{2}} - \frac{12}{p^{2} \left(p^{2} - 1\right)} \left(2 p^{2} - 1\right) \left(\frac{16 p^{8}}{\left(p^{4} + 1\right)^{3}} - \frac{16 p^{6}}{\left(p^{4} - 1\right)^{3}} - \frac{14 p^{4}}{\left(p^{4} + 1\right)^{2}} + \frac{6 p^{2}}{\left(p^{4} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{p^{4} + 1}\right) - \frac{12}{p^{2} \left(p^{2} - 1\right)} \left(6 p^{2} - 1\right) \left(- \frac{2 p^{4}}{\left(p^{4} + 1\right)^{2}} + \frac{2 p^{2}}{\left(p^{4} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{p^{4} + 1}\right) - \frac{\frac{24 p^{2}}{p^{4} + 1} - \frac{24}{p^{4} - 1}}{p^{2} \left(p^{2} - 1\right)} + \frac{48 \left(2 p^{2} - 1\right)^{2}}{p^{2} \left(p^{2} - 1\right)^{2}} \left(- \frac{2 p^{4}}{\left(p^{4} + 1\right)^{2}} + \frac{2 p^{2}}{\left(p^{4} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{p^{4} + 1}\right) + \frac{24}{p^{4} \left(p^{2} - 1\right)^{2}} \left(2 p^{2} - 1\right) \left(6 p^{2} - 1\right) \left(\frac{p^{2}}{p^{4} + 1} - \frac{1}{p^{4} - 1}\right) - \frac{48 \left(2 p^{2} - 1\right)^{3}}{p^{4} \left(p^{2} - 1\right)^{3}} \left(\frac{p^{2}}{p^{4} + 1} - \frac{1}{p^{4} - 1}\right)\right)$$