Производная ((x^2+4)/(x^3+12*x))^(1/4)

()'

↑ Функция f () ? - производная -го порядка

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
      ___________
     /    2      
    /    x  + 4  
   /   --------- 
4 /     3        
\/     x  + 12*x 
$$\sqrt[4]{\frac{x^{2} + 4}{x^{3} + 12 x}}$$
Подробное решение
[LaTeX]
  1. Заменим .

  2. В силу правила, применим: получим

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

    1. Применим правило производной частного:

      и .

      Чтобы найти :

      1. дифференцируем почленно:

        1. Производная постоянной равна нулю.

        2. В силу правила, применим: получим

        В результате:

      Чтобы найти :

      1. дифференцируем почленно:

        1. В силу правила, применим: получим

        2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: получим

          Таким образом, в результате:

        В результате:

      Теперь применим правило производной деления:

    В результате последовательности правил:

  4. Теперь упростим:


Ответ:

График
[LaTeX]
Первая производная
[LaTeX]
      ___________                                                    
     /    2                   /                /         2\ / 2    \\
    /    x  + 4   / 3       \ |      x         \-12 - 3*x /*\x  + 4/|
   /   --------- *\x  + 12*x/*|------------- + ---------------------|
4 /     3                     |  / 3       \                    2   |
\/     x  + 12*x              |2*\x  + 12*x/         / 3       \    |
                              \                    4*\x  + 12*x/    /
---------------------------------------------------------------------
                                 2                                   
                                x  + 4                               
$$\frac{\sqrt[4]{\frac{x^{2} + 4}{x^{3} + 12 x}}}{x^{2} + 4} \left(x^{3} + 12 x\right) \left(\frac{x}{2 x^{3} + 24 x} + \frac{\left(- 3 x^{2} - 12\right) \left(x^{2} + 4\right)}{4 \left(x^{3} + 12 x\right)^{2}}\right)$$
Вторая производная
[LaTeX]
                    /    /                             3 \                                                2                          \
                    |    |       /     2\      /     2\  |      /              2 \      /              2 \         /              2 \|
                    |    |     9*\4 + x /    9*\4 + x /  |      |      /     2\  |      |      /     2\  |         |      /     2\  ||
                    |  8*|-1 + ---------- - -------------|      |    3*\4 + x /  |    2 |    3*\4 + x /  |       2 |    3*\4 + x /  ||
      _____________ |    |            2                 2|   12*|2 - ------------|   x *|2 - ------------|    8*x *|2 - ------------||
     /         2    |    |      12 + x       2 /      2\ |      |     2 /      2\|      |     2 /      2\|         |     2 /      2\||
    /     4 + x     |    \                  x *\12 + x / /      \    x *\12 + x //      \    x *\12 + x //         \    x *\12 + x //|
   /   ----------- *|- ----------------------------------- + --------------------- + ---------------------- - -----------------------|
4 /      /      2\  |                      2                              2                        2                         2       |
\/     x*\12 + x /  |                 4 + x                         12 + x                 /     2\                  /     2\        |
                    \                                                                      \4 + x /                  \4 + x /        /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                  16                                                                  
$$\frac{1}{16} \sqrt[4]{\frac{x^{2} + 4}{x \left(x^{2} + 12\right)}} \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} \left(2 - \frac{3 \left(x^{2} + 4\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} + 12\right)}\right)^{2} - \frac{8 x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} \left(2 - \frac{3 \left(x^{2} + 4\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} + 12\right)}\right) + \frac{1}{x^{2} + 12} \left(24 - \frac{36 \left(x^{2} + 4\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} + 12\right)}\right) - \frac{1}{x^{2} + 4} \left(\frac{72 x^{2} + 288}{x^{2} + 12} - 8 - \frac{72 \left(x^{2} + 4\right)^{3}}{x^{2} \left(x^{2} + 12\right)^{2}}\right)\right)$$
Третья производная
[LaTeX]
                    /    /                             3 \       /                             3 \                                                    2                                               3                                /                            2               4\       /              2 \ /                             3 \                         2\
                    |    |       /     2\      /     2\  |       |       /     2\      /     2\  |        /              2 \        /              2 \      /              2 \      /              2 \        /              2 \       |      /     2\      /     2\        /     2\ |       |      /     2\  | |       /     2\      /     2\  |       /              2 \ |
                    |    |     9*\4 + x /    9*\4 + x /  |       |     9*\4 + x /    9*\4 + x /  |        |      /     2\  |        |      /     2\  |      |      /     2\  |      |      /     2\  |        |      /     2\  |       |    4*\4 + x /   36*\4 + x /     27*\4 + x / |       |    3*\4 + x /  | |     9*\4 + x /    9*\4 + x /  |       |      /     2\  | |
                    |  3*|-1 + ---------- - -------------|   2*x*|-1 + ---------- - -------------|      3 |    3*\4 + x /  |      3 |    3*\4 + x /  |      |    3*\4 + x /  |    3 |    3*\4 + x /  |        |    3*\4 + x /  |   3*x*|6 + ---------- - ------------ + -------------|   3*x*|2 - ------------|*|-1 + ---------- - -------------|       |    3*\4 + x /  | |
      _____________ |    |            2                 2|       |            2                 2|   2*x *|2 - ------------|   3*x *|2 - ------------|    x*|2 - ------------|   x *|2 - ------------|    3*x*|2 - ------------|       |         2        2 /      2\               2|       |     2 /      2\| |            2                 2|   9*x*|2 - ------------| |
     /         2    |    |      12 + x       2 /      2\ |       |      12 + x       2 /      2\ |        |     2 /      2\|        |     2 /      2\|      |     2 /      2\|      |     2 /      2\|        |     2 /      2\|       |        x        x *\12 + x /    4 /      2\ |       \    x *\12 + x // |      12 + x       2 /      2\ |       |     2 /      2\| |
    /     4 + x     |    \                  x *\12 + x / /       \                  x *\12 + x / /        \    x *\12 + x //        \    x *\12 + x //      \    x *\12 + x //      \    x *\12 + x //        \    x *\12 + x //       \                                x *\12 + x / /                          \                  x *\12 + x / /       \    x *\12 + x // |
   /   ----------- *|- ----------------------------------- + ------------------------------------- + ----------------------- - ------------------------ - -------------------- + ---------------------- - ---------------------- - --------------------------------------------------- - -------------------------------------------------------- + -----------------------|
4 /      /      2\  |                /      2\                                     2                                3                          3                        2                        3           /     2\ /      2\                      /     2\ /      2\                                                  2                              /     2\ /      2\ |
\/     x*\12 + x /  |              x*\12 + x /                             /     2\                         /     2\                   /     2\                 /     2\                 /     2\          2*\4 + x /*\12 + x /                    2*\4 + x /*\12 + x /                                          /     2\                            16*\4 + x /*\12 + x / |
                    \                                                      \4 + x /                         \4 + x /                 8*\4 + x /               2*\4 + x /              64*\4 + x /                                                                                                              8*\4 + x /                                                  /
$$\sqrt[4]{\frac{x^{2} + 4}{x \left(x^{2} + 12\right)}} \left(\frac{x^{3}}{64 \left(x^{2} + 4\right)^{3}} \left(2 - \frac{3 \left(x^{2} + 4\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} + 12\right)}\right)^{3} - \frac{3 x^{3}}{8 \left(x^{2} + 4\right)^{3}} \left(2 - \frac{3 \left(x^{2} + 4\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} + 12\right)}\right)^{2} + \frac{2 x^{3}}{\left(x^{2} + 4\right)^{3}} \left(2 - \frac{3 \left(x^{2} + 4\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} + 12\right)}\right) + \frac{9 x \left(2 - \frac{3 \left(x^{2} + 4\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} + 12\right)}\right)^{2}}{16 \left(x^{2} + 4\right) \left(x^{2} + 12\right)} - \frac{3 x \left(2 - \frac{3 \left(x^{2} + 4\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} + 12\right)}\right)}{2 \left(x^{2} + 4\right) \left(x^{2} + 12\right)} - \frac{3 x}{8 \left(x^{2} + 4\right)^{2}} \left(2 - \frac{3 \left(x^{2} + 4\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} + 12\right)}\right) \left(\frac{9 x^{2} + 36}{x^{2} + 12} - 1 - \frac{9 \left(x^{2} + 4\right)^{3}}{x^{2} \left(x^{2} + 12\right)^{2}}\right) - \frac{x}{2 \left(x^{2} + 4\right)^{2}} \left(2 - \frac{3 \left(x^{2} + 4\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} + 12\right)}\right) - \frac{3 x}{2 \left(x^{2} + 4\right) \left(x^{2} + 12\right)} \left(6 - \frac{36 \left(x^{2} + 4\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} + 12\right)} + \frac{1}{x^{2}} \left(4 x^{2} + 16\right) + \frac{27 \left(x^{2} + 4\right)^{4}}{x^{4} \left(x^{2} + 12\right)^{2}}\right) + \frac{2 x}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} \left(\frac{9 x^{2} + 36}{x^{2} + 12} - 1 - \frac{9 \left(x^{2} + 4\right)^{3}}{x^{2} \left(x^{2} + 12\right)^{2}}\right) - \frac{1}{x \left(x^{2} + 12\right)} \left(\frac{27 x^{2} + 108}{x^{2} + 12} - 3 - \frac{27 \left(x^{2} + 4\right)^{3}}{x^{2} \left(x^{2} + 12\right)^{2}}\right)\right)$$