Производная x*exp(x^(1/8))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   8 ___
   \/ x 
x*e     
xex8x e^{\sqrt[8]{x}}
Подробное решение
  1. Применяем правило производной умножения:

    ddx(f(x)g(x))=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}

    f(x)=xf{\left (x \right )} = x; найдём ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. В силу правила, применим: xx получим 11

    g(x)=ex8g{\left (x \right )} = e^{\sqrt[8]{x}}; найдём ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. Заменим u=x8u = \sqrt[8]{x}.

    2. Производная eue^{u} само оно.

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxx8\frac{d}{d x} \sqrt[8]{x}:

      1. В силу правила, применим: x8\sqrt[8]{x} получим 18x78\frac{1}{8 x^{\frac{7}{8}}}

      В результате последовательности правил:

      ex88x78\frac{e^{\sqrt[8]{x}}}{8 x^{\frac{7}{8}}}

    В результате: x8ex88+ex8\frac{\sqrt[8]{x} e^{\sqrt[8]{x}}}{8} + e^{\sqrt[8]{x}}

  2. Теперь упростим:

    ex88(x8+8)\frac{e^{\sqrt[8]{x}}}{8} \left(\sqrt[8]{x} + 8\right)


Ответ:

ex88(x8+8)\frac{e^{\sqrt[8]{x}}}{8} \left(\sqrt[8]{x} + 8\right)

График
02468-8-6-4-2-1010050
Первая производная [src]
       8 ___         
8 ___  \/ x     8 ___
\/ x *e         \/ x 
------------ + e     
     8               
x8ex88+ex8\frac{\sqrt[8]{x} e^{\sqrt[8]{x}}}{8} + e^{\sqrt[8]{x}}
Вторая производная [src]
               8 ___
/ 1      9  \  \/ x 
|---- + ----|*e     
| 3/4    7/8|       
\x      x   /       
--------------------
         64         
ex864(1x34+9x78)\frac{e^{\sqrt[8]{x}}}{64} \left(\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{9}{x^{\frac{7}{8}}}\right)
Третья производная [src]
                        8 ___
/  1       63     3  \  \/ x 
|----- - ----- + ----|*e     
| 13/8    15/8    7/4|       
\x       x       x   /       
-----------------------------
             512             
ex8512(3x74+1x13863x158)\frac{e^{\sqrt[8]{x}}}{512} \left(\frac{3}{x^{\frac{7}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{13}{8}}} - \frac{63}{x^{\frac{15}{8}}}\right)