Производная 8*(4^(sqrt(x)))*(x^2)

     ___   
   \/ x   2
8*4     *x 

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = 8 \cdot 4^{\sqrt{x}}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \sqrt{x}$.

      2. $\frac{d}{d u} 4^{u} = 4^{u} \log{\left (4 \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

         1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{4^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}} \log{\left (4 \right )}$

      Таким образом, в результате: $\frac{4}{\sqrt{x}} 4^{\sqrt{x}} \log{\left (4 \right )}$

   $g{\left (x \right )} = x^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   В результате: $4 \cdot 4^{\sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}} \log{\left (4 \right )} + 16 \cdot 4^{\sqrt{x}} x$

2. Теперь упростим:

   $2^{2 \sqrt{x} + 2} \left(x^{\frac{3}{2}} \log{\left (4 \right )} + 4 x\right)$

Ответ:

$2^{2 \sqrt{x} + 2} \left(x^{\frac{3}{2}} \log{\left (4 \right )} + 4 x\right)$

        ___        ___            
      \/ x       \/ x   3/2       
16*x*4      + 4*4     *x   *log(4)

     ___                                 
   \/ x  /         2          ___       \
2*4     *\8 + x*log (4) + 7*\/ x *log(4)/

   ___                                          
 \/ x  /             15      ___    2   \       
4     *|9*log(4) + ----- + \/ x *log (4)|*log(4)
       |             ___                |       
       \           \/ x                 /