Производная log(x)^4*sin(3*x)

Вы ввели

   4            
log (x)*sin(3*x)

$$\log^{4}{\left (x \right )} \sin{\left (3 x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \log^{4}{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \log{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (x \right )}$:

      1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате последовательности правил:

      $\frac{4}{x} \log^{3}{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = \sin{\left (3 x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = 3 x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(3 x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $3$

      В результате последовательности правил:

      $3 \cos{\left (3 x \right )}$

   В результате: $3 \log^{4}{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )} + \frac{4}{x} \log^{3}{\left (x \right )} \sin{\left (3 x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x} \left(3 x \log{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )} + 4 \sin{\left (3 x \right )}\right) \log^{3}{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x} \left(3 x \log{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )} + 4 \sin{\left (3 x \right )}\right) \log^{3}{\left (x \right )}$

Первая производная

                          3            
     4               4*log (x)*sin(3*x)
3*log (x)*cos(3*x) + ------------------
                             x         

$$3 \log^{4}{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )} + \frac{4}{x} \log^{3}{\left (x \right )} \sin{\left (3 x \right )}$$

Упростить

Вторая производная

   2    /       2               12*sin(3*x)   4*log(x)*sin(3*x)   24*cos(3*x)*log(x)\
log (x)*|- 9*log (x)*sin(3*x) + ----------- - ----------------- + ------------------|
        |                             2                2                  x         |
        \                            x                x                             /

$$\left(- 9 \log^{2}{\left (x \right )} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{24}{x} \log{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )} - \frac{4}{x^{2}} \log{\left (x \right )} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{12}{x^{2}} \sin{\left (3 x \right )}\right) \log^{2}{\left (x \right )}$$

Упростить

Третья производная

/                                             2                                          2                    2                                  \       
|        3               24*sin(3*x)   108*log (x)*sin(3*x)   36*log(x)*sin(3*x)   36*log (x)*cos(3*x)   8*log (x)*sin(3*x)   108*cos(3*x)*log(x)|       
|- 27*log (x)*cos(3*x) + ----------- - -------------------- - ------------------ - ------------------- + ------------------ + -------------------|*log(x)
|                              3                x                      3                     2                    3                     2        |       
\                             x                                       x                     x                    x                     x         /       

$$\left(- 27 \log^{3}{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )} - \frac{108}{x} \log^{2}{\left (x \right )} \sin{\left (3 x \right )} - \frac{36}{x^{2}} \log^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )} + \frac{108}{x^{2}} \log{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )} + \frac{8}{x^{3}} \log^{2}{\left (x \right )} \sin{\left (3 x \right )} - \frac{36}{x^{3}} \log{\left (x \right )} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{24}{x^{3}} \sin{\left (3 x \right )}\right) \log{\left (x \right )}$$

Упростить

График