Производная 4^sqrt(5*x^2-4*x+1)-7/(x-5)^2

Вы ввели

    ________________           
   /    2                      
 \/  5*x  - 4*x + 1       7    
4                    - --------
                              2
                       (x - 5) 

$$4^{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} - \frac{7}{\left(x - 5\right)^{2}}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $4^{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} - \frac{7}{\left(x - 5\right)^{2}}$ почленно:

   1. Заменим $u = \sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}$.

   2. $\frac{d}{d u} 4^{u} = 4^{u} \log{\left (4 \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}$:

      1. Заменим $u = 5 x^{2} - 4 x + 1$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(5 x^{2} - 4 x + 1\right)$:

         1. дифференцируем $5 x^{2} - 4 x + 1$ почленно:

            1. дифференцируем $5 x^{2} - 4 x$ почленно:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

                  Таким образом, в результате: $10 x$

               2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                     1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                     Таким образом, в результате: $4$

                  Таким образом, в результате: $-4$

               В результате: $10 x - 4$

            2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            В результате: $10 x - 4$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{10 x - 4}{2 \sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{4^{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} \left(10 x - 4\right) \log{\left (4 \right )}}{2 \sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Заменим $u = \left(x - 5\right)^{2}$.

         2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x - 5\right)^{2}$:

            1. Заменим $u = x - 5$.

            2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - 5\right)$:

               1. дифференцируем $x - 5$ почленно:

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  2. Производная постоянной $-5$ равна нулю.

                  В результате: $1$

               В результате последовательности правил:

               $2 x - 10$

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{2 x - 10}{\left(x - 5\right)^{4}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{14 x - 70}{\left(x - 5\right)^{4}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{14 x - 70}{\left(x - 5\right)^{4}}$

   В результате: $\frac{4^{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} \left(10 x - 4\right) \log{\left (4 \right )}}{2 \sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} + \frac{14 x - 70}{\left(x - 5\right)^{4}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\left(x - 5\right)^{3} \sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} \left(4^{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} \left(x - 5\right)^{3} \left(5 x - 2\right) \log{\left (4 \right )} + 14 \sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(x - 5\right)^{3} \sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} \left(4^{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} \left(x - 5\right)^{3} \left(5 x - 2\right) \log{\left (4 \right )} + 14 \sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}\right)$

Первая производная

                     ________________                  
                    /    2                             
                  \/  5*x  - 4*x + 1                   
  7*(10 - 2*x)   4                   *(-2 + 5*x)*log(4)
- ------------ + --------------------------------------
           4                 ________________          
    (x - 5)                 /    2                     
                          \/  5*x  - 4*x + 1           

$$\frac{4^{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} \log{\left (4 \right )}}{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} \left(5 x - 2\right) - \frac{- 14 x + 70}{\left(x - 5\right)^{4}}$$

Упростить

Вторая производная

                    ________________              ________________                           ________________                   
                   /              2              /              2                           /              2                    
                 \/  1 - 4*x + 5*x             \/  1 - 4*x + 5*x             2    2       \/  1 - 4*x + 5*x             2       
      42      5*4                   *log(4)   4                   *(-2 + 5*x) *log (4)   4                   *(-2 + 5*x) *log(4)
- --------- + ----------------------------- + ---------------------------------------- - ---------------------------------------
          4           ________________                                  2                                          3/2          
  (-5 + x)           /              2                      1 - 4*x + 5*x                           /             2\             
                   \/  1 - 4*x + 5*x                                                               \1 - 4*x + 5*x /             

$$\frac{4^{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} \left(5 x - 2\right)^{2}}{5 x^{2} - 4 x + 1} \log^{2}{\left (4 \right )} - \frac{4^{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} \left(5 x - 2\right)^{2}}{\left(5 x^{2} - 4 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} \log{\left (4 \right )} + \frac{5 \cdot 4^{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} \log{\left (4 \right )}}{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} - \frac{42}{\left(x - 5\right)^{4}}$$

Упростить

Третья производная

                ________________                              ________________                           ________________                             ________________                             ________________                   
               /              2                              /              2                           /              2                             /              2                             /              2                    
             \/  1 - 4*x + 5*x             3    3          \/  1 - 4*x + 5*x                          \/  1 - 4*x + 5*x             3    2         \/  1 - 4*x + 5*x             3              \/  1 - 4*x + 5*x      2              
   168      4                   *(-2 + 5*x) *log (4)   15*4                   *(-2 + 5*x)*log(4)   3*4                   *(-2 + 5*x) *log (4)   3*4                   *(-2 + 5*x) *log(4)   15*4                   *log (4)*(-2 + 5*x)
--------- + ---------------------------------------- - ----------------------------------------- - ------------------------------------------ + ----------------------------------------- + ------------------------------------------
        5                             3/2                                         3/2                                          2                                           5/2                                         2              
(-5 + x)              /             2\                            /             2\                             /             2\                            /             2\                               1 - 4*x + 5*x               
                      \1 - 4*x + 5*x /                            \1 - 4*x + 5*x /                             \1 - 4*x + 5*x /                            \1 - 4*x + 5*x /                                                           

$$- \frac{3 \cdot 4^{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} \left(5 x - 2\right)^{3}}{\left(5 x^{2} - 4 x + 1\right)^{2}} \log^{2}{\left (4 \right )} + \frac{4^{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} \left(5 x - 2\right)^{3}}{\left(5 x^{2} - 4 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} \log^{3}{\left (4 \right )} + \frac{3 \cdot 4^{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} \left(5 x - 2\right)^{3}}{\left(5 x^{2} - 4 x + 1\right)^{\frac{5}{2}}} \log{\left (4 \right )} + \frac{15 \cdot 4^{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} \log^{2}{\left (4 \right )}}{5 x^{2} - 4 x + 1} \left(5 x - 2\right) - \frac{15 \cdot 4^{\sqrt{5 x^{2} - 4 x + 1}} \log{\left (4 \right )}}{\left(5 x^{2} - 4 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} \left(5 x - 2\right) + \frac{168}{\left(x - 5\right)^{5}}$$

Упростить