Найти производную y' = f'(x) = ctg^4*(log(2+5*x)/log(3)) (ctg в степени 4 умножить на (логарифм от (2 плюс 5 умножить на х) делить на логарифм от (3))) - функции. Найдём значение производной функции в точке. [Есть ОТВЕТ!]

Производная ctg^4*(log(2+5*x)/log(3))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😉

()'

- производная -го порядка в точке

График:

от до

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   4/log(2 + 5*x)\
cot |------------|
    \   log(3)   /
$$\cot^{4}{\left(\frac{\log{\left(5 x + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}$$
d /   4/log(2 + 5*x)\\
--|cot |------------||
dx\    \   log(3)   //
$$\frac{d}{d x} \cot^{4}{\left(\frac{\log{\left(5 x + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}$$
Подробное решение
  1. Заменим .

  2. В силу правила, применим: получим

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

    1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Method #1

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      2. Заменим .

      3. В силу правила, применим: получим

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

        1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

        2. Применим правило производной частного:

          и .

          Чтобы найти :

          1. Заменим .

          2. Производная синуса есть косинус:

          3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

              1. Заменим .

              2. Производная является .

              3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

                1. дифференцируем почленно:

                  1. Производная постоянной равна нулю.

                  2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                    1. В силу правила, применим: получим

                    Таким образом, в результате:

                  В результате:

                В результате последовательности правил:

              Таким образом, в результате:

            В результате последовательности правил:

          Чтобы найти :

          1. Заменим .

          2. Производная косинус есть минус синус:

          3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

              1. Заменим .

              2. Производная является .

              3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

                1. дифференцируем почленно:

                  1. Производная постоянной равна нулю.

                  2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                    1. В силу правила, применим: получим

                    Таким образом, в результате:

                  В результате:

                В результате последовательности правил:

              Таким образом, в результате:

            В результате последовательности правил:

          Теперь применим правило производной деления:

        В результате последовательности правил:

      Method #2

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      2. Применим правило производной частного:

        и .

        Чтобы найти :

        1. Заменим .

        2. Производная косинус есть минус синус:

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Заменим .

            2. Производная является .

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

              1. дифференцируем почленно:

                1. Производная постоянной равна нулю.

                2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: получим

                  Таким образом, в результате:

                В результате:

              В результате последовательности правил:

            Таким образом, в результате:

          В результате последовательности правил:

        Чтобы найти :

        1. Заменим .

        2. Производная синуса есть косинус:

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Заменим .

            2. Производная является .

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

              1. дифференцируем почленно:

                1. Производная постоянной равна нулю.

                2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: получим

                  Таким образом, в результате:

                В результате:

              В результате последовательности правил:

            Таким образом, в результате:

          В результате последовательности правил:

        Теперь применим правило производной деления:

    В результате последовательности правил:

  4. Теперь упростим:


Ответ:

График
Первая производная [src]
      3/log(2 + 5*x)\ /        2/log(2 + 5*x)\\
20*cot |------------|*|-1 - cot |------------||
       \   log(3)   / \         \   log(3)   //
-----------------------------------------------
                (2 + 5*x)*log(3)               
$$\frac{20 \cot^{3}{\left (\frac{\log{\left (5 x + 2 \right )}}{\log{\left (3 \right )}} \right )}}{\left(5 x + 2\right) \log{\left (3 \right )}} \left(- \cot^{2}{\left (\frac{\log{\left (5 x + 2 \right )}}{\log{\left (3 \right )}} \right )} - 1\right)$$
Вторая производная [src]
                                                /     2/log(2 + 5*x)\     /       2/log(2 + 5*x)\\                    \
                                                |2*cot |------------|   3*|1 + cot |------------||                    |
       2/log(2 + 5*x)\ /       2/log(2 + 5*x)\\ |      \   log(3)   /     \        \   log(3)   //      /log(2 + 5*x)\|
100*cot |------------|*|1 + cot |------------||*|-------------------- + -------------------------- + cot|------------||
        \   log(3)   / \        \   log(3)   // \       log(3)                    log(3)                \   log(3)   //
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                            2                                                          
                                                   (2 + 5*x) *log(3)                                                   
$$\frac{100 \left(\cot^{2}{\left(\frac{\log{\left(5 x + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \right)} + 1\right) \left(\frac{3 \left(\cot^{2}{\left(\frac{\log{\left(5 x + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \right)} + 1\right)}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{2 \cot^{2}{\left(\frac{\log{\left(5 x + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \cot{\left(\frac{\log{\left(5 x + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right) \cot^{2}{\left(\frac{\log{\left(5 x + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}}{\left(5 x + 2\right)^{2} \log{\left(3 \right)}}$$
Третья производная [src]
                              /                                                                        2                                                                                                                       \                  
                              |                            4/log(2 + 5*x)\     /       2/log(2 + 5*x)\\         3/log(2 + 5*x)\     /       2/log(2 + 5*x)\\    /log(2 + 5*x)\         2/log(2 + 5*x)\ /       2/log(2 + 5*x)\\|                  
                              |                       4*cot |------------|   6*|1 + cot |------------||    6*cot |------------|   9*|1 + cot |------------||*cot|------------|   20*cot |------------|*|1 + cot |------------|||                  
     /       2/log(2 + 5*x)\\ |     2/log(2 + 5*x)\         \   log(3)   /     \        \   log(3)   //          \   log(3)   /     \        \   log(3)   //    \   log(3)   /          \   log(3)   / \        \   log(3)   //|    /log(2 + 5*x)\
-500*|1 + cot |------------||*|2*cot |------------| + -------------------- + --------------------------- + -------------------- + -------------------------------------------- + ----------------------------------------------|*cot|------------|
     \        \   log(3)   // |      \   log(3)   /            2                          2                       log(3)                             log(3)                                            2                       |    \   log(3)   /
                              \                             log (3)                    log (3)                                                                                                      log (3)                    /                  
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                         3                                                                                                                        
                                                                                                                (2 + 5*x) *log(3)                                                                                                                 
$$- \frac{500 \left(\cot^{2}{\left(\frac{\log{\left(5 x + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \right)} + 1\right) \left(\frac{6 \left(\cot^{2}{\left(\frac{\log{\left(5 x + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \right)} + 1\right)^{2}}{\log{\left(3 \right)}^{2}} + \frac{20 \left(\cot^{2}{\left(\frac{\log{\left(5 x + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(\frac{\log{\left(5 x + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}^{2}} + \frac{9 \left(\cot^{2}{\left(\frac{\log{\left(5 x + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{\log{\left(5 x + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{4 \cot^{4}{\left(\frac{\log{\left(5 x + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}^{2}} + \frac{6 \cot^{3}{\left(\frac{\log{\left(5 x + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + 2 \cot^{2}{\left(\frac{\log{\left(5 x + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right) \cot{\left(\frac{\log{\left(5 x + 2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \right)}}{\left(5 x + 2\right)^{3} \log{\left(3 \right)}}$$
График
Производная ctg^4*(log(2+5*x)/log(3)) /media/krcore-image-pods/9/53/d27181cdfe068df1069f4b2bb9abb.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: