Найти производную y' = f'(x) = (cos(9*x))/(9+cos(9*x)) ((косинус от (9 умножить на х)) делить на (9 плюс косинус от (9 умножить на х))) - функции. Найдём значение производной функции в точке. [Есть ОТВЕТ!]

Производная (cos(9*x))/(9+cos(9*x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😉

()'

- производная -го порядка в точке

График:

от до

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
  cos(9*x)  
------------
9 + cos(9*x)
$$\frac{\cos{\left (9 x \right )}}{\cos{\left (9 x \right )} + 9}$$
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    и .

    Чтобы найти :

    1. Заменим .

    2. Производная косинус есть минус синус:

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: получим

        Таким образом, в результате:

      В результате последовательности правил:

    Чтобы найти :

    1. дифференцируем почленно:

      1. Производная постоянной равна нулю.

      2. Заменим .

      3. Производная косинус есть минус синус:

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: получим

          Таким образом, в результате:

        В результате последовательности правил:

      В результате:

    Теперь применим правило производной деления:

  2. Теперь упростим:


Ответ:

График
Первая производная [src]
   9*sin(9*x)    9*cos(9*x)*sin(9*x)
- ------------ + -------------------
  9 + cos(9*x)                   2  
                   (9 + cos(9*x))   
$$- \frac{9 \sin{\left (9 x \right )}}{\cos{\left (9 x \right )} + 9} + \frac{9 \sin{\left (9 x \right )} \cos{\left (9 x \right )}}{\left(\cos{\left (9 x \right )} + 9\right)^{2}}$$
Вторая производная [src]
   /                2               2              2              \
   |             cos (9*x)     2*sin (9*x)    2*sin (9*x)*cos(9*x)|
81*|-cos(9*x) + ------------ - ------------ + --------------------|
   |            9 + cos(9*x)   9 + cos(9*x)                   2   |
   \                                            (9 + cos(9*x))    /
-------------------------------------------------------------------
                            9 + cos(9*x)                           
$$\frac{1}{\cos{\left (9 x \right )} + 9} \left(- 81 \cos{\left (9 x \right )} - \frac{162 \sin^{2}{\left (9 x \right )}}{\cos{\left (9 x \right )} + 9} + \frac{81 \cos^{2}{\left (9 x \right )}}{\cos{\left (9 x \right )} + 9} + \frac{162 \sin^{2}{\left (9 x \right )} \cos{\left (9 x \right )}}{\left(\cos{\left (9 x \right )} + 9\right)^{2}}\right)$$
Третья производная [src]
    /                          2                 2               2              \         
    |     7*cos(9*x)      6*sin (9*x)       6*cos (9*x)     6*sin (9*x)*cos(9*x)|         
729*|1 - ------------ - --------------- + --------------- + --------------------|*sin(9*x)
    |    9 + cos(9*x)                 2                 2                   3   |         
    \                   (9 + cos(9*x))    (9 + cos(9*x))      (9 + cos(9*x))    /         
------------------------------------------------------------------------------------------
                                       9 + cos(9*x)                                       
$$\frac{729 \sin{\left (9 x \right )}}{\cos{\left (9 x \right )} + 9} \left(1 - \frac{7 \cos{\left (9 x \right )}}{\cos{\left (9 x \right )} + 9} - \frac{6 \sin^{2}{\left (9 x \right )}}{\left(\cos{\left (9 x \right )} + 9\right)^{2}} + \frac{6 \cos^{2}{\left (9 x \right )}}{\left(\cos{\left (9 x \right )} + 9\right)^{2}} + \frac{6 \sin^{2}{\left (9 x \right )} \cos{\left (9 x \right )}}{\left(\cos{\left (9 x \right )} + 9\right)^{3}}\right)$$
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: