Производная (sqrt(x+7)*(x-3)^4)/(x+2)^5

  _______        4
\/ x + 7 *(x - 3) 
------------------
            5     
     (x + 2)      

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \left(x - 3\right)^{4} \sqrt{x + 7}$ и $g{\left (x \right )} = \left(x + 2\right)^{5}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = \left(x - 3\right)^{4}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = x - 3$.

      2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - 3\right)$:

         1. дифференцируем $x - 3$ почленно:

            1. Производная постоянной $-3$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $4 \left(x - 3\right)^{3}$

      $g{\left (x \right )} = \sqrt{x + 7}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = x + 7$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 7\right)$:

         1. дифференцируем $x + 7$ почленно:

            1. Производная постоянной $7$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{2 \sqrt{x + 7}}$

      В результате: $\frac{\left(x - 3\right)^{4}}{2 \sqrt{x + 7}} + 4 \left(x - 3\right)^{3} \sqrt{x + 7}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x + 2$.

   2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 2\right)$:

      1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $5 \left(x + 2\right)^{4}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x + 2\right)^{10}} \left(- 5 \left(x - 3\right)^{4} \left(x + 2\right)^{4} \sqrt{x + 7} + \left(x + 2\right)^{5} \left(\frac{\left(x - 3\right)^{4}}{2 \sqrt{x + 7}} + 4 \left(x - 3\right)^{3} \sqrt{x + 7}\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(x - 3\right)^{3}}{2 \left(x + 2\right)^{6} \sqrt{x + 7}} \left(- 10 \left(x - 3\right) \left(x + 7\right) + \left(x + 2\right) \left(9 x + 53\right)\right)$

Ответ:

$\frac{\left(x - 3\right)^{3}}{2 \left(x + 2\right)^{6} \sqrt{x + 7}} \left(- 10 \left(x - 3\right) \left(x + 7\right) + \left(x + 2\right) \left(9 x + 53\right)\right)$

         4                                               
  (x - 3)              3   _______                       
----------- + 4*(x - 3) *\/ x + 7                        
    _______                                   4   _______
2*\/ x + 7                           5*(x - 3) *\/ x + 7 
---------------------------------- - --------------------
                    5                             6      
             (x + 2)                       (x + 2)       

          /                                                                                                                             /    _______     -3 + x \\
          |                                                                                                                  5*(-3 + x)*|8*\/ 7 + x  + ---------||
          |                                     2          _______                       2   _______                 2                  |                _______||
        2 |     _______   4*(-3 + x)    (-3 + x)      20*\/ 7 + x *(-3 + x)   30*(-3 + x) *\/ 7 + x        5*(-3 + x)                   \              \/ 7 + x /|
(-3 + x) *|12*\/ 7 + x  + ---------- - ------------ - --------------------- + ---------------------- - ------------------- - ------------------------------------|
          |                 _______             3/2           2 + x                         2                      _______                2*(2 + x)              |
          \               \/ 7 + x     4*(7 + x)                                     (2 + x)           2*(2 + x)*\/ 7 + x                                        /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                    5                                                                             
                                                                             (2 + x)                                                                              

         /                                                                                                                                                                                                                                   /                       2               \                       \
         |                                                                                                                                           2 /    _______     -3 + x \                                                             |     _______   (-3 + x)     16*(-3 + x)|                       |
         |                                                                                                                                15*(-3 + x) *|8*\/ 7 + x  + ---------|                                                  5*(-3 + x)*|48*\/ 7 + x  - ---------- + -----------|                       |
         |                         2                           3                3   _______        _______                          2                  |                _______|                 3                  2   _______              |                      3/2      _______ |                 3     |
         |     _______   3*(-3 + x)    18*(-3 + x)   3*(-3 + x)     210*(-3 + x) *\/ 7 + x    60*\/ 7 + x *(-3 + x)      20*(-3 + x)                   \              \/ 7 + x /      30*(-3 + x)       240*(-3 + x) *\/ 7 + x               \               (7 + x)       \/ 7 + x  /       5*(-3 + x)      |
(-3 + x)*|24*\/ 7 + x  - ----------- + ----------- + ------------ - ----------------------- - --------------------- - ----------------- + -------------------------------------- + ------------------ + ----------------------- - ---------------------------------------------------- + --------------------|
         |                       3/2      _______             5/2                  3                  2 + x                     _______                         2                         2   _______                  2                               2*(2 + x)                                          3/2|
         \                (7 + x)       \/ 7 + x     8*(7 + x)              (2 + x)                                   (2 + x)*\/ 7 + x                   (2 + x)                   (2 + x) *\/ 7 + x            (2 + x)                                                                  4*(2 + x)*(7 + x)   /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                          5                                                                                                                                                   
                                                                                                                                                   (2 + x)