Производная e^(-4*t)^2*(5+cos(2*t))

 /      2\               
 \(-4*t) /               
E         *(5 + cos(2*t))

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d t}\left(f{\left (t \right )} g{\left (t \right )}\right) = f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$

   $f{\left (t \right )} = e^{\left(- 4 t\right)^{2}}$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

   1. Заменим $u = \left(- 4 t\right)^{2}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \left(- 4 t\right)^{2}$:

      1. Заменим $u = - 4 t$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(- 4 t\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-4$

         В результате последовательности правил:

         $32 t$

      В результате последовательности правил:

      $32 t e^{\left(- 4 t\right)^{2}}$

   $g{\left (t \right )} = \cos{\left (2 t \right )} + 5$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

   1. дифференцируем $\cos{\left (2 t \right )} + 5$ почленно:

      1. Производная постоянной $5$ равна нулю.

      2. Заменим $u = 2 t$.

      3. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(2 t\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $- 2 \sin{\left (2 t \right )}$

      В результате: $- 2 \sin{\left (2 t \right )}$

   В результате: $32 t \left(\cos{\left (2 t \right )} + 5\right) e^{\left(- 4 t\right)^{2}} - 2 e^{\left(- 4 t\right)^{2}} \sin{\left (2 t \right )}$

2. Теперь упростим:

   $2 \left(16 t \left(\cos{\left (2 t \right )} + 5\right) - \sin{\left (2 t \right )}\right) e^{16 t^{2}}$

Ответ:

$2 \left(16 t \left(\cos{\left (2 t \right )} + 5\right) - \sin{\left (2 t \right )}\right) e^{16 t^{2}}$

     /      2\                                 /      2\
     \(-4*t) /                                 \(-4*t) /
- 2*e         *sin(2*t) + 32*t*(5 + cos(2*t))*e         

                                                             /      2\
  /                                       2               \  \(-4*t) /
4*\40 + 7*cos(2*t) - 32*t*sin(2*t) + 256*t *(5 + cos(2*t))/*e         

                                                                                                    /      2\
  /                    2                                                         3               \  \(-4*t) /
8*\-23*sin(2*t) - 768*t *sin(2*t) - 48*t*cos(2*t) + 384*t*(5 + cos(2*t)) + 4096*t *(5 + cos(2*t))/*e