Производная sin(tan(1/7))*(cos(16*x))^2/(32*sin(32*x))

Вы ввели

                 2      
sin(tan(1/7))*cos (16*x)
------------------------
      32*sin(32*x)      

$$\frac{\sin{\left (\tan{\left (\frac{1}{7} \right )} \right )} \cos^{2}{\left (16 x \right )}}{32 \sin{\left (32 x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (\tan{\left (\frac{1}{7} \right )} \right )} \cos^{2}{\left (16 x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = 32 \sin{\left (32 x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \cos{\left (16 x \right )}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (16 x \right )}$:

         1. Заменим $u = 16 x$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(16 x\right)$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $16$

            В результате последовательности правил:

            $- 16 \sin{\left (16 x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $- 32 \sin{\left (16 x \right )} \cos{\left (16 x \right )}$

      Таким образом, в результате: $- 32 \sin{\left (16 x \right )} \sin{\left (\tan{\left (\frac{1}{7} \right )} \right )} \cos{\left (16 x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = 32 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(32 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $32$

         В результате последовательности правил:

         $32 \cos{\left (32 x \right )}$

      Таким образом, в результате: $1024 \cos{\left (32 x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{1024 \sin^{2}{\left (32 x \right )}} \left(- 1024 \sin{\left (16 x \right )} \sin{\left (32 x \right )} \sin{\left (\tan{\left (\frac{1}{7} \right )} \right )} \cos{\left (16 x \right )} - 1024 \sin{\left (\tan{\left (\frac{1}{7} \right )} \right )} \cos^{2}{\left (16 x \right )} \cos{\left (32 x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\cos{\left (16 x \right )}}{\sin^{2}{\left (32 x \right )}} \left(\sin{\left (16 x \right )} \sin{\left (32 x \right )} + \cos{\left (16 x \right )} \cos{\left (32 x \right )}\right) \sin{\left (\tan{\left (\frac{1}{7} \right )} \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{\cos{\left (16 x \right )}}{\sin^{2}{\left (32 x \right )}} \left(\sin{\left (16 x \right )} \sin{\left (32 x \right )} + \cos{\left (16 x \right )} \cos{\left (32 x \right )}\right) \sin{\left (\tan{\left (\frac{1}{7} \right )} \right )}$

Первая производная

     2                                                                                  
  cos (16*x)*cos(32*x)*sin(tan(1/7))           1                                        
- ---------------------------------- - 32*------------*cos(16*x)*sin(16*x)*sin(tan(1/7))
                 2                        32*sin(32*x)                                  
              sin (32*x)                                                                

$$- \frac{\sin{\left (16 x \right )} \cos{\left (16 x \right )}}{\sin{\left (32 x \right )}} \sin{\left (\tan{\left (\frac{1}{7} \right )} \right )} - \frac{\cos^{2}{\left (16 x \right )} \cos{\left (32 x \right )}}{\sin^{2}{\left (32 x \right )}} \sin{\left (\tan{\left (\frac{1}{7} \right )} \right )}$$

Упростить

Вторая производная

   /                               2          2                                        \              
   |   2            2         4*cos (16*x)*cos (32*x)   4*cos(16*x)*cos(32*x)*sin(16*x)|              
16*|cos (16*x) + sin (16*x) + ----------------------- + -------------------------------|*sin(tan(1/7))
   |                                    2                          sin(32*x)           |              
   \                                 sin (32*x)                                        /              
------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                              sin(32*x)                                               

$$\frac{16 \sin{\left (\tan{\left (\frac{1}{7} \right )} \right )}}{\sin{\left (32 x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (16 x \right )} + \frac{4 \cos{\left (16 x \right )}}{\sin{\left (32 x \right )}} \sin{\left (16 x \right )} \cos{\left (32 x \right )} + \cos^{2}{\left (16 x \right )} + \frac{4 \cos^{2}{\left (16 x \right )}}{\sin^{2}{\left (32 x \right )}} \cos^{2}{\left (32 x \right )}\right)$$

Упростить

Третья производная

     /                             2                        2                         2          3               2                          \              
     |                        3*sin (16*x)*cos(32*x)   7*cos (16*x)*cos(32*x)   12*cos (16*x)*cos (32*x)   12*cos (32*x)*cos(16*x)*sin(16*x)|              
-512*|4*cos(16*x)*sin(16*x) + ---------------------- + ---------------------- + ------------------------ + ---------------------------------|*sin(tan(1/7))
     |                              sin(32*x)                sin(32*x)                    3                               2                 |              
     \                                                                                 sin (32*x)                      sin (32*x)           /              
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                         sin(32*x)                                                                         

$$- \frac{512 \sin{\left (\tan{\left (\frac{1}{7} \right )} \right )}}{\sin{\left (32 x \right )}} \left(\frac{3 \sin^{2}{\left (16 x \right )}}{\sin{\left (32 x \right )}} \cos{\left (32 x \right )} + 4 \sin{\left (16 x \right )} \cos{\left (16 x \right )} + \frac{12 \cos^{2}{\left (32 x \right )}}{\sin^{2}{\left (32 x \right )}} \sin{\left (16 x \right )} \cos{\left (16 x \right )} + \frac{7 \cos^{2}{\left (16 x \right )}}{\sin{\left (32 x \right )}} \cos{\left (32 x \right )} + \frac{12 \cos^{2}{\left (16 x \right )}}{\sin^{3}{\left (32 x \right )}} \cos^{3}{\left (32 x \right )}\right)$$

Упростить