Найти производную y' = f'(x) = 1/27*((sin(27*x)^(2))/cos(54*x)) (1 делить на 27 умножить на ((синус от (27 умножить на х) в степени (2)) делить на косинус от (54 умножить на х))) - функции. Найдём значение производной функции в точке. [Есть ОТВЕТ!]

Производная 1/27*((sin(27*x)^(2))/cos(54*x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😉

()'

- производная -го порядка в точке

График:

от до

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
/   2      \
|sin (27*x)|
|----------|
\cos(54*x) /
------------
     27     
$$\frac{1}{27} \sin^{2}{\left (27 x \right )} \frac{1}{\cos{\left (54 x \right )}}$$
Подробное решение
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

    1. Применим правило производной частного:

      и .

      Чтобы найти :

      1. Заменим .

      2. В силу правила, применим: получим

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

        1. Заменим .

        2. Производная синуса есть косинус:

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: получим

            Таким образом, в результате:

          В результате последовательности правил:

        В результате последовательности правил:

      Чтобы найти :

      1. Заменим .

      2. Производная косинус есть минус синус:

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: получим

          Таким образом, в результате:

        В результате последовательности правил:

      Теперь применим правило производной деления:

    Таким образом, в результате:

  2. Теперь упростим:


Ответ:

График
Первая производная [src]
                             2                
2*cos(27*x)*sin(27*x)   2*sin (27*x)*sin(54*x)
--------------------- + ----------------------
      cos(54*x)                  2            
                              cos (54*x)      
$$\frac{2 \sin^{2}{\left (27 x \right )}}{\cos^{2}{\left (54 x \right )}} \sin{\left (54 x \right )} + \frac{2 \cos{\left (27 x \right )}}{\cos{\left (54 x \right )}} \sin{\left (27 x \right )}$$
Вторая производная [src]
   /                               2          2                                        \
   |   2            2         4*sin (27*x)*sin (54*x)   4*cos(27*x)*sin(27*x)*sin(54*x)|
54*|cos (27*x) + sin (27*x) + ----------------------- + -------------------------------|
   |                                    2                          cos(54*x)           |
   \                                 cos (54*x)                                        /
----------------------------------------------------------------------------------------
                                       cos(54*x)                                        
$$\frac{1}{\cos{\left (54 x \right )}} \left(\frac{216 \sin^{2}{\left (27 x \right )}}{\cos^{2}{\left (54 x \right )}} \sin^{2}{\left (54 x \right )} + 54 \sin^{2}{\left (27 x \right )} + \frac{216 \cos{\left (27 x \right )}}{\cos{\left (54 x \right )}} \sin{\left (27 x \right )} \sin{\left (54 x \right )} + 54 \cos^{2}{\left (27 x \right )}\right)$$
Третья производная [src]
     /                             2                        2                         2          3               2                          \
     |                        3*cos (27*x)*sin(54*x)   7*sin (27*x)*sin(54*x)   12*sin (27*x)*sin (54*x)   12*sin (54*x)*cos(27*x)*sin(27*x)|
2916*|4*cos(27*x)*sin(27*x) + ---------------------- + ---------------------- + ------------------------ + ---------------------------------|
     |                              cos(54*x)                cos(54*x)                    3                               2                 |
     \                                                                                 cos (54*x)                      cos (54*x)           /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                  cos(54*x)                                                                  
$$\frac{1}{\cos{\left (54 x \right )}} \left(\frac{34992 \sin^{2}{\left (27 x \right )}}{\cos^{3}{\left (54 x \right )}} \sin^{3}{\left (54 x \right )} + \frac{20412 \sin^{2}{\left (27 x \right )}}{\cos{\left (54 x \right )}} \sin{\left (54 x \right )} + \frac{34992 \sin^{2}{\left (54 x \right )}}{\cos^{2}{\left (54 x \right )}} \sin{\left (27 x \right )} \cos{\left (27 x \right )} + 11664 \sin{\left (27 x \right )} \cos{\left (27 x \right )} + \frac{8748 \cos^{2}{\left (27 x \right )}}{\cos{\left (54 x \right )}} \sin{\left (54 x \right )}\right)$$
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: