Найти производную y' = f'(x) = 15*log(tan(x/2))+cos(x)/sin(x)^(4)*(8*cos(x)^(4)-25*cos(x)^(2)+15) (15 умножить на логарифм от (тангенс от (х делить на 2)) плюс косинус от (х) делить на синус от (х) в степени (4) умножить на (8 умножить на косинус от (х) в степени (4) минус 25 умножить на косинус от (х) в степени (2) плюс 15)) - функции. Найдём значение производной функции в точке. [Есть ОТВЕТ!]

Производная 15*log(tan(x/2))+cos(x)/s ... (x)^(4)-25*cos(x)^(2)+15)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😉

()'

- производная -го порядка в точке

График:

от до

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
      /   /x\\    cos(x) /     4            2        \
15*log|tan|-|| + -------*\8*cos (x) - 25*cos (x) + 15/
      \   \2//      4                                 
                 sin (x)                              
$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \left(8 \cos^{4}{\left (x \right )} - 25 \cos^{2}{\left (x \right )} + 15\right) + 15 \log{\left (\tan{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}$$
Подробное решение
  1. дифференцируем почленно:

    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим .

      2. Производная является .

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

        1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

          Один из способов:

          1. Заменим .

          2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

              1. В силу правила, применим: получим

              Таким образом, в результате:

            В результате последовательности правил:

        В результате последовательности правил:

      Таким образом, в результате:

    2. Применим правило производной частного:

      и .

      Чтобы найти :

      1. Применяем правило производной умножения:

        ; найдём :

        1. дифференцируем почленно:

          1. Производная постоянной равна нулю.

          2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Заменим .

            2. В силу правила, применим: получим

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

              1. Производная косинус есть минус синус:

              В результате последовательности правил:

            Таким образом, в результате:

          3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Заменим .

            2. В силу правила, применим: получим

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

              1. Производная косинус есть минус синус:

              В результате последовательности правил:

            Таким образом, в результате:

          В результате:

        ; найдём :

        1. Производная косинус есть минус синус:

        В результате:

      Чтобы найти :

      1. Заменим .

      2. В силу правила, применим: получим

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

        1. Производная синуса есть косинус:

        В результате последовательности правил:

      Теперь применим правило производной деления:

    В результате:

  2. Теперь упростим:


Ответ:

График
Первая производная [src]
                                                           /       2/x\\                                                  
                                                           |    tan |-||                                                  
                                                           |1       \2/|                                                  
/                 2   \                                 15*|- + -------|   /        3                             \       
|   sin(x)   4*cos (x)| /     4            2        \      \2      2   /   \- 32*cos (x)*sin(x) + 50*cos(x)*sin(x)/*cos(x)
|- ------- - ---------|*\8*cos (x) - 25*cos (x) + 15/ + ---------------- + -----------------------------------------------
|     4          5    |                                         /x\                               4                       
\  sin (x)    sin (x) /                                      tan|-|                            sin (x)                    
                                                                \2/                                                       
$$\left(- \frac{1}{\sin^{3}{\left (x \right )}} - \frac{4 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{5}{\left (x \right )}}\right) \left(8 \cos^{4}{\left (x \right )} - 25 \cos^{2}{\left (x \right )} + 15\right) + \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \left(- 32 \sin{\left (x \right )} \cos^{3}{\left (x \right )} + 50 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right) + \frac{\frac{15}{2} \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{15}{2}}{\tan{\left (\frac{x}{2} \right )}}$$
Вторая производная [src]
                                                                                                                                                                            /           2   \                                          /         2   \                          
                                  2                                                                                                                                         |     20*cos (x)| /           2           4   \            |    4*cos (x)| /            2   \       
           2/x\      /       2/x\\                                                                                                                                          |11 + ----------|*\15 - 25*cos (x) + 8*cos (x)/*cos(x)   2*|1 + ---------|*\-25 + 16*cos (x)/*cos(x)
     15*tan |-|   15*|1 + tan |-||      /        2            4            2            2       2   \            /            2   \               3    /            2   \   |         2     |                                          |        2    |                          
15          \2/      \        \2//    2*\- 25*sin (x) - 16*cos (x) + 25*cos (x) + 48*cos (x)*sin (x)/*cos(x)   2*\-25 + 16*cos (x)/*cos(x)   8*cos (x)*\-25 + 16*cos (x)/   \      sin (x)  /                                          \     sin (x) /                          
-- + ---------- - ----------------- + ---------------------------------------------------------------------- + --------------------------- + ---------------------------- + ------------------------------------------------------ + -------------------------------------------
2        2                 2/x\                                         4                                                   2                             4                                           4                                                   2                     
                      4*tan |-|                                      sin (x)                                             sin (x)                       sin (x)                                     sin (x)                                             sin (x)                  
                            \2/                                                                                                                                                                                                                                                 
$$\frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(1 + \frac{4 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \left(16 \cos^{2}{\left (x \right )} - 25\right) + \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \left(11 + \frac{20 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \left(8 \cos^{4}{\left (x \right )} - 25 \cos^{2}{\left (x \right )} + 15\right) + \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(16 \cos^{2}{\left (x \right )} - 25\right) + \frac{8 \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \left(16 \cos^{2}{\left (x \right )} - 25\right) - \frac{15 \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)^{2}}{4 \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}} + \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \left(48 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - 25 \sin^{2}{\left (x \right )} - 16 \cos^{4}{\left (x \right )} + 25 \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \frac{15}{2} \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{15}{2}$$
Третья производная [src]
                                                                                                                                      /            2             4   \                                                                                                                                                                                                                         /         2   \                                                                                              /           2   \
                                                                                    2                                             3   |     104*cos (x)   120*cos (x)| /           2           4   \                                                                                                                                                                                           |    4*cos (x)| /        2            4            2            2       2   \        2    /            2   \ |     20*cos (x)|
                                                                       /       2/x\\       /       2/x\\    /x\      /       2/x\\    |11 + ----------- + -----------|*\15 - 25*cos (x) + 8*cos (x)/                                                                                                                                                                                         2*|1 + ---------|*\- 25*sin (x) - 16*cos (x) + 25*cos (x) + 48*cos (x)*sin (x)/   4*cos (x)*\-25 + 16*cos (x)/*|11 + ----------|
    /        2            4            2            2       2   \   15*|1 + tan |-||    15*|1 + tan |-||*tan|-|   15*|1 + tan |-||    |          2             4     |                                       4    /            2   \         2    /            2   \         2    /        2            4            2            2       2   \        2    /           2            2   \     |        2    |                                                                                              |         2     |
  4*\- 25*sin (x) - 16*cos (x) + 25*cos (x) + 48*cos (x)*sin (x)/      \        \2//       \        \2//    \2/      \        \2//    \       sin (x)       sin (x)  /                                 40*cos (x)*\-25 + 16*cos (x)/   22*cos (x)*\-25 + 16*cos (x)/   16*cos (x)*\- 25*sin (x) - 16*cos (x) + 25*cos (x) + 48*cos (x)*sin (x)/   8*cos (x)*\25 - 40*cos (x) + 24*sin (x)/     \     sin (x) /                                                                                              \      sin (x)  /
- --------------------------------------------------------------- - ----------------- + ----------------------- + ----------------- - -------------------------------------------------------------- - ----------------------------- - ----------------------------- - ------------------------------------------------------------------------ - ---------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------
                                 3                                            /x\                  2                       3/x\                                     3                                                5                               3                                                    5                                                          3                                                              3                                                                3                       
                              sin (x)                                    2*tan|-|                                     4*tan |-|                                  sin (x)                                          sin (x)                         sin (x)                                              sin (x)                                                    sin (x)                                                        sin (x)                                                          sin (x)                    
                                                                              \2/                                           \2/                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
$$- \frac{2}{\sin^{3}{\left (x \right )}} \left(1 + \frac{4 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \left(48 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - 25 \sin^{2}{\left (x \right )} - 16 \cos^{4}{\left (x \right )} + 25 \cos^{2}{\left (x \right )}\right) - \frac{4 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} \left(11 + \frac{20 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right) \left(16 \cos^{2}{\left (x \right )} - 25\right) - \frac{22 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} \left(16 \cos^{2}{\left (x \right )} - 25\right) - \frac{40 \cos^{4}{\left (x \right )}}{\sin^{5}{\left (x \right )}} \left(16 \cos^{2}{\left (x \right )} - 25\right) + \frac{15 \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)^{3}}{4 \tan^{3}{\left (\frac{x}{2} \right )}} - \frac{15 \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)^{2}}{2 \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}} + \frac{15}{2} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{x}{2} \right )} - \frac{1}{\sin^{3}{\left (x \right )}} \left(11 + \frac{104 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{120 \cos^{4}{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}}\right) \left(8 \cos^{4}{\left (x \right )} - 25 \cos^{2}{\left (x \right )} + 15\right) - \frac{8 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} \left(24 \sin^{2}{\left (x \right )} - 40 \cos^{2}{\left (x \right )} + 25\right) - \frac{1}{\sin^{3}{\left (x \right )}} \left(192 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - 100 \sin^{2}{\left (x \right )} - 64 \cos^{4}{\left (x \right )} + 100 \cos^{2}{\left (x \right )}\right) - \frac{16 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{5}{\left (x \right )}} \left(48 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - 25 \sin^{2}{\left (x \right )} - 16 \cos^{4}{\left (x \right )} + 25 \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$$
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: