Производная 3^(pi/x)-3/(3^(cos(3*x/2))-1)

()'

↑ Функция f () ? - производная -го порядка

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
 pi                
 --                
 x          3      
3   - -------------
          /3*x\    
       cos|---|    
          \ 2 /    
      3         - 1
$$3^{\frac{\pi}{x}} - \frac{3}{3^{\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} - 1}$$
Подробное решение
[LaTeX]
  1. дифференцируем почленно:

    1. Заменим .

    2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: получим

        Таким образом, в результате:

      В результате последовательности правил:

    3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. Заменим .

        2. В силу правила, применим: получим

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

          1. дифференцируем почленно:

            1. Заменим .

            2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

              1. Заменим .

              2. Производная косинус есть минус синус:

              3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

                1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                    1. В силу правила, применим: получим

                    Таким образом, в результате:

                  Таким образом, в результате:

                В результате последовательности правил:

              В результате последовательности правил:

            3. Производная постоянной равна нулю.

            В результате:

          В результате последовательности правил:

        Таким образом, в результате:

      Таким образом, в результате:

    В результате:

  2. Теперь упростим:


Ответ:

График
[LaTeX]
Первая производная
[LaTeX]
                        /3*x\                
      pi             cos|---|                
      --                \ 2 /           /3*x\
      x           9*3        *log(3)*sin|---|
  pi*3  *log(3)                         \ 2 /
- ------------- - ---------------------------
         2                              2    
        x                /    /3*x\    \     
                         | cos|---|    |     
                         |    \ 2 /    |     
                       2*\3         - 1/     
$$- \frac{3^{\frac{\pi}{x}} \pi}{x^{2}} \log{\left (3 \right )} - \frac{9 \cdot 3^{\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} \log{\left (3 \right )} \sin{\left (\frac{3 x}{2} \right )}}{2 \left(3^{\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} - 1\right)^{2}}$$
Вторая производная
[LaTeX]
/                  /3*x\                                      /3*x\                           /3*x\                 \       
|      pi       cos|---|             pi                  2*cos|---|                        cos|---|                 |       
|      --          \ 2 /    /3*x\    --                       \ 2 /    2/3*x\                 \ 2 /    2/3*x\       |       
|      x    27*3        *cos|---|    x    2          27*3          *sin |---|*log(3)   27*3        *sin |---|*log(3)|       
|2*pi*3                     \ 2 /   3  *pi *log(3)                      \ 2 /                           \ 2 /       |       
|-------- - --------------------- + -------------- - ------------------------------- + -----------------------------|*log(3)
|    3                         2           4                                 3                                2     |       
|   x          /         /3*x\\           x                  /         /3*x\\                 /         /3*x\\      |       
|              |      cos|---||                              |      cos|---||                 |      cos|---||      |       
|              |         \ 2 /|                              |         \ 2 /|                 |         \ 2 /|      |       
\            4*\-1 + 3        /                            2*\-1 + 3        /               4*\-1 + 3        /      /       
$$\left(\frac{2 \pi}{x^{3}} 3^{\frac{\pi}{x}} + \frac{3^{\frac{\pi}{x}} \pi^{2}}{x^{4}} \log{\left (3 \right )} - \frac{27 \cdot 3^{2 \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} \sin^{2}{\left (\frac{3 x}{2} \right )}}{2 \left(3^{\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} - 1\right)^{3}} \log{\left (3 \right )} + \frac{27 \cdot 3^{\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} \log{\left (3 \right )} \sin^{2}{\left (\frac{3 x}{2} \right )}}{4 \left(3^{\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} - 1\right)^{2}} - \frac{27 \cdot 3^{\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}}{4 \left(3^{\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} - 1\right)^{2}}\right) \log{\left (3 \right )}$$
Третья производная
[LaTeX]
/                    /3*x\                                                           /3*x\                            /3*x\                               /3*x\                               /3*x\                                    /3*x\                         \       
|        pi       cos|---|             pi                  pi                   3*cos|---|                         cos|---|                          2*cos|---|                          2*cos|---|                                 cos|---|                         |       
|        --          \ 2 /    /3*x\    --                  --                        \ 2 /    2       3/3*x\          \ 2 /    2       3/3*x\             \ 2 /    2       3/3*x\             \ 2 /    /3*x\           /3*x\           \ 2 /    /3*x\           /3*x\|       
|        x    81*3        *sin|---|    x    3    2         x    2          243*3          *log (3)*sin |---|   81*3        *log (3)*sin |---|   243*3          *log (3)*sin |---|   243*3          *cos|---|*log(3)*sin|---|   243*3        *cos|---|*log(3)*sin|---||       
|  6*pi*3                     \ 2 /   3  *pi *log (3)   6*3  *pi *log(3)                               \ 2 /                            \ 2 /                               \ 2 /                      \ 2 /           \ 2 /                    \ 2 /           \ 2 /|       
|- -------- + --------------------- - --------------- - ---------------- - --------------------------------- - ------------------------------ + --------------------------------- - ---------------------------------------- + --------------------------------------|*log(3)
|      4                         2            6                 5                                   4                                 2                                  3                                      3                                         2          |       
|     x          /         /3*x\\            x                 x                    /         /3*x\\                  /         /3*x\\                   /         /3*x\\                       /         /3*x\\                          /         /3*x\\           |       
|                |      cos|---||                                                   |      cos|---||                  |      cos|---||                   |      cos|---||                       |      cos|---||                          |      cos|---||           |       
|                |         \ 2 /|                                                   |         \ 2 /|                  |         \ 2 /|                   |         \ 2 /|                       |         \ 2 /|                          |         \ 2 /|           |       
\              8*\-1 + 3        /                                                 4*\-1 + 3        /                8*\-1 + 3        /                 4*\-1 + 3        /                     4*\-1 + 3        /                        8*\-1 + 3        /           /       
$$\left(- \frac{6 \pi}{x^{4}} 3^{\frac{\pi}{x}} - \frac{6 \pi^{2}}{x^{5}} 3^{\frac{\pi}{x}} \log{\left (3 \right )} - \frac{3^{\frac{\pi}{x}} \pi^{3}}{x^{6}} \log^{2}{\left (3 \right )} - \frac{243 \cdot 3^{3 \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} \log^{2}{\left (3 \right )}}{4 \left(3^{\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} - 1\right)^{4}} \sin^{3}{\left (\frac{3 x}{2} \right )} + \frac{243 \cdot 3^{2 \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} \log^{2}{\left (3 \right )}}{4 \left(3^{\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} - 1\right)^{3}} \sin^{3}{\left (\frac{3 x}{2} \right )} - \frac{243 \cdot 3^{2 \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}}{4 \left(3^{\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} - 1\right)^{3}} \log{\left (3 \right )} \sin{\left (\frac{3 x}{2} \right )} - \frac{81 \cdot 3^{\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} \log^{2}{\left (3 \right )} \sin^{3}{\left (\frac{3 x}{2} \right )}}{8 \left(3^{\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} - 1\right)^{2}} + \frac{243 \cdot 3^{\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} \log{\left (3 \right )} \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}}{8 \left(3^{\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} - 1\right)^{2}} \sin{\left (\frac{3 x}{2} \right )} + \frac{81 \cdot 3^{\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} \sin{\left (\frac{3 x}{2} \right )}}{8 \left(3^{\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}} - 1\right)^{2}}\right) \log{\left (3 \right )}$$