Производная 6*x^5+8*x/sqrt(x)

   5    8*x 
6*x  + -----
         ___
       \/ x 

1. дифференцируем $6 x^{5} + \frac{8 x}{\sqrt{x}}$ почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x^{5}$ получим $5 x^{4}$

      Таким образом, в результате: $30 x^{4}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = 8 x$ и $g{\left (x \right )} = \sqrt{x}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $8$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{4}{\sqrt{x}}$

   В результате: $30 x^{4} + \frac{4}{\sqrt{x}}$

Ответ:

$30 x^{4} + \frac{4}{\sqrt{x}}$

  4         4
----- + 30*x 
  ___        
\/ x         

  /   1         3\
2*|- ---- + 60*x |
  |   3/2        |
  \  x           /

  / 1          2\
3*|---- + 120*x |
  | 5/2         |
  \x            /