Производная e^x*sqrt(1-e^(2*x))-asin(e)^x

Вы ввели

      __________           
 x   /      2*x        x   
E *\/  1 - E     - asin (E)

$$e^{x} \sqrt{- e^{2 x} + 1} - \operatorname{asin}^{x}{\left (e \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $e^{x} \sqrt{- e^{2 x} + 1} - \operatorname{asin}^{x}{\left (e \right )}$ почленно:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      $g{\left (x \right )} = \sqrt{- e^{2 x} + 1}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = - e^{2 x} + 1$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- e^{2 x} + 1\right)$:

         1. дифференцируем $- e^{2 x} + 1$ почленно:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. Заменим $u = 2 x$.

               2. Производная $e^{u}$ само оно.

               3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 x\right)$:

                  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                     1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                     Таким образом, в результате: $2$

                  В результате последовательности правил:

                  $2 e^{2 x}$

               Таким образом, в результате: $- 2 e^{2 x}$

            В результате: $- 2 e^{2 x}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{e^{2 x}}{\sqrt{- e^{2 x} + 1}}$

      В результате: $\sqrt{- e^{2 x} + 1} e^{x} - \frac{e^{3 x}}{\sqrt{- e^{2 x} + 1}}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. $\frac{d}{d x} \operatorname{asin}^{x}{\left (e \right )} = \log{\left (\operatorname{asin}{\left (e \right )} \right )} \operatorname{asin}^{x}{\left (e \right )}$

      Таким образом, в результате: $- \log{\left (\operatorname{asin}{\left (e \right )} \right )} \operatorname{asin}^{x}{\left (e \right )}$

   В результате: $\sqrt{- e^{2 x} + 1} e^{x} - \log{\left (\operatorname{asin}{\left (e \right )} \right )} \operatorname{asin}^{x}{\left (e \right )} - \frac{e^{3 x}}{\sqrt{- e^{2 x} + 1}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\sqrt{- e^{2 x} + 1}} \left(- \sqrt{- e^{2 x} + 1} \log{\left (\operatorname{asin}{\left (e \right )} \right )} \operatorname{asin}^{x}{\left (e \right )} - 2 e^{3 x} + e^{x}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sqrt{- e^{2 x} + 1}} \left(- \sqrt{- e^{2 x} + 1} \log{\left (\operatorname{asin}{\left (e \right )} \right )} \operatorname{asin}^{x}{\left (e \right )} - 2 e^{3 x} + e^{x}\right)$

Первая производная

   __________            3*x                            
  /      2*x   x        e              x                
\/  1 - E    *e  - ------------- - asin (E)*log(asin(E))
                      __________                        
                     /      2*x                         
                   \/  1 - E                            

$$\sqrt{- e^{2 x} + 1} e^{x} - \log{\left (\operatorname{asin}{\left (e \right )} \right )} \operatorname{asin}^{x}{\left (e \right )} - \frac{e^{3 x}}{\sqrt{- e^{2 x} + 1}}$$

Упростить

Вторая производная

   __________            5*x                                       3*x   
  /      2*x   x        e              x       2                4*e      
\/  1 - e    *e  - ------------- - asin (E)*log (asin(E)) - -------------
                             3/2                               __________
                   /     2*x\                                 /      2*x 
                   \1 - e   /                               \/  1 - e    

$$\sqrt{- e^{2 x} + 1} e^{x} - \log^{2}{\left (\operatorname{asin}{\left (e \right )} \right )} \operatorname{asin}^{x}{\left (e \right )} - \frac{4 e^{3 x}}{\sqrt{- e^{2 x} + 1}} - \frac{e^{5 x}}{\left(- e^{2 x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$

Упростить

Третья производная

   __________                                      3*x             5*x             7*x   
  /      2*x   x       x       3               13*e             9*e             3*e      
\/  1 - e    *e  - asin (E)*log (asin(E)) - ------------- - ------------- - -------------
                                               __________             3/2             5/2
                                              /      2*x    /     2*x\      /     2*x\   
                                            \/  1 - e       \1 - e   /      \1 - e   /   

$$\sqrt{- e^{2 x} + 1} e^{x} - \log^{3}{\left (\operatorname{asin}{\left (e \right )} \right )} \operatorname{asin}^{x}{\left (e \right )} - \frac{13 e^{3 x}}{\sqrt{- e^{2 x} + 1}} - \frac{9 e^{5 x}}{\left(- e^{2 x} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 e^{7 x}}{\left(- e^{2 x} + 1\right)^{\frac{5}{2}}}$$

Упростить