Найти производную y' = f'(x) = sin(sqrt(x)/(1+n^2*x))^2 (синус от (квадратный корень из (х) делить на (1 плюс n в квадрате умножить на х)) в квадрате) - функции. Найдём значение производной функции в точке. [Есть ОТВЕТ!]

Производная sin(sqrt(x)/(1+n^2*x))^2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😉

()'

- производная -го порядка в точке

График:

от до

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
    /     ___   \
   2|   \/ x    |
sin |-----------|
    |          1|
    |/     2  \ |
    \\1 + n *x/ /
$$\sin^{2}{\left (\frac{\sqrt{x}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{1}} \right )}$$
Подробное решение
  1. Заменим .

  2. В силу правила, применим: получим

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

    1. Заменим .

    2. Производная синуса есть косинус:

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

      1. Применим правило производной частного:

        и .

        Чтобы найти :

        1. В силу правила, применим: получим

        Чтобы найти :

        1. дифференцируем почленно:

          1. Производная постоянной равна нулю.

          2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: получим

            Таким образом, в результате:

          В результате:

        Теперь применим правило производной деления:

      В результате последовательности правил:

    В результате последовательности правил:

  4. Теперь упростим:


Ответ:

Первая производная [src]
  /                        2   ___ \    /     ___   \    /     ___   \
  |        1              n *\/ x  |    |   \/ x    |    |   \/ x    |
2*|------------------ - -----------|*cos|-----------|*sin|-----------|
  |    ___ /     2  \             2|    |          1|    |          1|
  |2*\/ x *\1 + n *x/   /     2  \ |    |/     2  \ |    |/     2  \ |
  \                     \1 + n *x/ /    \\1 + n *x/ /    \\1 + n *x/ /
$$2 \left(- \frac{n^{2} \sqrt{x}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(n^{2} x + 1\right)}\right) \sin{\left (\frac{\sqrt{x}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{1}} \right )} \cos{\left (\frac{\sqrt{x}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{1}} \right )}$$
Вторая производная [src]
                      2                                        2                                                                                     
/             2   ___\      /   ___  \   /             2   ___\      /   ___  \                                                                      
|    1     2*n *\/ x |     2| \/ x   |   |    1     2*n *\/ x |     2| \/ x   |                                                                      
|- ----- + ----------| *cos |--------|   |- ----- + ----------| *sin |--------|                                                                      
|    ___           2 |      |       2|   |    ___           2 |      |       2|   /           4   ___            2      \    /   ___  \    /   ___  \
\  \/ x     1 + x*n  /      \1 + x*n /   \  \/ x     1 + x*n  /      \1 + x*n /   | 1      8*n *\/ x          4*n       |    | \/ x   |    | \/ x   |
-------------------------------------- - -------------------------------------- - |---- - ----------- + ----------------|*cos|--------|*sin|--------|
                      2                                        2                  | 3/2             2     ___ /       2\|    |       2|    |       2|
               1 + x*n                                  1 + x*n                   |x      /       2\    \/ x *\1 + x*n /|    \1 + x*n /    \1 + x*n /
                                                                                  \       \1 + x*n /                    /                            
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                       /       2\                                                                    
                                                                     2*\1 + x*n /                                                                    
$$\frac{1}{2 n^{2} x + 2} \left(- \left(- \frac{8 n^{4} \sqrt{x}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{2}} + \frac{4 n^{2}}{\sqrt{x} \left(n^{2} x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \sin{\left (\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right )} \cos{\left (\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right )} - \frac{\left(\frac{2 n^{2} \sqrt{x}}{n^{2} x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{n^{2} x + 1} \sin^{2}{\left (\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right )} + \frac{\left(\frac{2 n^{2} \sqrt{x}}{n^{2} x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{n^{2} x + 1} \cos^{2}{\left (\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right )}\right)$$
Третья производная [src]
                                                                                                 /   ___  \ /             2   ___\ /           4   ___            2      \         /   ___  \ /             2   ___\ /           4   ___            2      \                           3                            
                                                                                                2| \/ x   | |    1     2*n *\/ x | | 1      8*n *\/ x          4*n       |        2| \/ x   | |    1     2*n *\/ x | | 1      8*n *\/ x          4*n       |     /             2   ___\     /   ___  \    /   ___  \
                                                                                           3*sin |--------|*|- ----- + ----------|*|---- - ----------- + ----------------|   3*cos |--------|*|- ----- + ----------|*|---- - ----------- + ----------------|     |    1     2*n *\/ x |     | \/ x   |    | \/ x   |
                                                                                                 |       2| |    ___           2 | | 3/2             2     ___ /       2\|         |       2| |    ___           2 | | 3/2             2     ___ /       2\|   4*|- ----- + ----------| *cos|--------|*sin|--------|
  /           6   ___            2                  4      \    /   ___  \    /   ___  \         \1 + x*n / \  \/ x     1 + x*n  / |x      /       2\    \/ x *\1 + x*n /|         \1 + x*n / \  \/ x     1 + x*n  / |x      /       2\    \/ x *\1 + x*n /|     |    ___           2 |     |       2|    |       2|
  | 1     16*n *\/ x          2*n                8*n       |    | \/ x   |    | \/ x   |                                           \       \1 + x*n /                    /                                           \       \1 + x*n /                    /     \  \/ x     1 + x*n  /     \1 + x*n /    \1 + x*n /
3*|---- - ----------- + --------------- + -----------------|*cos|--------|*sin|--------| - ------------------------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------------------------------- + -----------------------------------------------------
  | 5/2             3    3/2 /       2\                   2|    |       2|    |       2|                                              2                                                                                 2                                                                     2                     
  |x      /       2\    x   *\1 + x*n /     ___ /       2\ |    \1 + x*n /    \1 + x*n /                                       1 + x*n                                                                           1 + x*n                                                            /       2\                      
  \       \1 + x*n /                      \/ x *\1 + x*n / /                                                                                                                                                                                                                        \1 + x*n /                      
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                      /       2\                                                                                                                                                    
                                                                                                                                                    4*\1 + x*n /                                                                                                                                                    
$$\frac{1}{4 n^{2} x + 4} \left(3 \left(- \frac{16 n^{6} \sqrt{x}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{3}} + \frac{8 n^{4}}{\sqrt{x} \left(n^{2} x + 1\right)^{2}} + \frac{2 n^{2}}{x^{\frac{3}{2}} \left(n^{2} x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}\right) \sin{\left (\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right )} \cos{\left (\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right )} - \frac{3 \sin^{2}{\left (\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right )}}{n^{2} x + 1} \left(\frac{2 n^{2} \sqrt{x}}{n^{2} x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \left(- \frac{8 n^{4} \sqrt{x}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{2}} + \frac{4 n^{2}}{\sqrt{x} \left(n^{2} x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) + \frac{3 \cos^{2}{\left (\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right )}}{n^{2} x + 1} \left(\frac{2 n^{2} \sqrt{x}}{n^{2} x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \left(- \frac{8 n^{4} \sqrt{x}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{2}} + \frac{4 n^{2}}{\sqrt{x} \left(n^{2} x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) + \frac{4 \cos{\left (\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right )}}{\left(n^{2} x + 1\right)^{2}} \left(\frac{2 n^{2} \sqrt{x}}{n^{2} x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{3} \sin{\left (\frac{\sqrt{x}}{n^{2} x + 1} \right )}\right)$$
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: