Производная e^(x*sin(5/x))-1

()'

↑ Функция f () ? - производная -го порядка

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
      /5\    
 x*sin|-|    
      \x/    
E         - 1
$$e^{x \sin{\left (\frac{5}{x} \right )}} - 1$$
Подробное решение
[LaTeX]
  1. дифференцируем почленно:

    1. Заменим .

    2. Производная само оно.

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

      1. Применяем правило производной умножения:

        ; найдём :

        1. В силу правила, применим: получим

        ; найдём :

        1. Заменим .

        2. Производная синуса есть косинус:

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: получим

            Таким образом, в результате:

          В результате последовательности правил:

        В результате:

      В результате последовательности правил:

    4. Производная постоянной равна нулю.

    В результате:

  2. Теперь упростим:


Ответ:

График
[LaTeX]
Первая производная
[LaTeX]
/       /5\         \       /5\
|  5*cos|-|         |  x*sin|-|
|       \x/      /5\|       \x/
|- -------- + sin|-||*e        
\     x          \x//          
$$\left(\sin{\left (\frac{5}{x} \right )} - \frac{5}{x} \cos{\left (\frac{5}{x} \right )}\right) e^{x \sin{\left (\frac{5}{x} \right )}}$$
Вторая производная
[LaTeX]
/                     2            \          
|/       /5\         \          /5\|       /5\
||  5*cos|-|         |    25*sin|-||  x*sin|-|
||       \x/      /5\|          \x/|       \x/
||- -------- + sin|-||  - ---------|*e        
|\     x          \x//         3   |          
\                             x    /          
$$\left(\left(\sin{\left (\frac{5}{x} \right )} - \frac{5}{x} \cos{\left (\frac{5}{x} \right )}\right)^{2} - \frac{25}{x^{3}} \sin{\left (\frac{5}{x} \right )}\right) e^{x \sin{\left (\frac{5}{x} \right )}}$$
Третья производная
[LaTeX]
/                                                     /       /5\         \       \          
|                     3                               |  5*cos|-|         |       |          
|/       /5\         \          /5\          /5\      |       \x/      /5\|    /5\|       /5\
||  5*cos|-|         |    75*sin|-|   125*cos|-|   75*|- -------- + sin|-||*sin|-||  x*sin|-|
||       \x/      /5\|          \x/          \x/      \     x          \x//    \x/|       \x/
||- -------- + sin|-||  + --------- + ---------- - -------------------------------|*e        
|\     x          \x//         4           5                       3              |          
\                             x           x                       x               /          
$$\left(\left(\sin{\left (\frac{5}{x} \right )} - \frac{5}{x} \cos{\left (\frac{5}{x} \right )}\right)^{3} - \frac{75}{x^{3}} \left(\sin{\left (\frac{5}{x} \right )} - \frac{5}{x} \cos{\left (\frac{5}{x} \right )}\right) \sin{\left (\frac{5}{x} \right )} + \frac{75}{x^{4}} \sin{\left (\frac{5}{x} \right )} + \frac{125}{x^{5}} \cos{\left (\frac{5}{x} \right )}\right) e^{x \sin{\left (\frac{5}{x} \right )}}$$