x^2+y^2-8*x+6*y=0 (х в квадрате плюс у в квадрате минус 8 умножить на х плюс 6 умножить на у равно 0) Канонический вид уравнения. [Есть ОТВЕТ!]

x^2+y^2-8*x+6*y=0 (канонический вид)

Препод очень удивится увидев твоё верное решение😉


Для графика:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Качество:


(Кол-во точек на оси)

Тип построения:

Решение

Вы ввели [src]
 2    2                
x  + y  - 8*x + 6*y = 0
$$x^{2} - 8 x + y^{2} + 6 y = 0$$
Подробное решение
Дано ур-ние линии 2-порядка:
$$x^{2} - 8 x + y^{2} + 6 y = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
где
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -4$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 3$$
$$a_{33} = 0$$
Вычислим определитель
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
или, подставляем
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 1$$
Т.к.
$$\Delta$$
не равен 0, то
находим центр канонической системы координат. Для этого решаем систему уравнений
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
подставляем коэффициенты
$$x_{0} - 4 = 0$$
$$y_{0} + 3 = 0$$
тогда
$$x_{0} = 4$$
$$y_{0} = -3$$
Тем самым мы перешли к уравнению в системе координат O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
где
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
или
$$a'_{33} = - 4 x_{0} + 3 y_{0}$$
$$a'_{33} = -25$$
тогда ур-ние превратится в
$$x'^{2} + y'^{2} - 25 = 0$$
Данное уравнение является окружностью
$$\frac{\tilde x^{2}}{5^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{5^{2}} = 1$$
- приведено к каноническому виду
Центр канонической системы координат в точке O
(4, -3)

Базис канонической системы координат
$$\vec e_1 = \left ( 1, \quad 0\right )$$
$$\vec e_2 = \left ( 0, \quad 1\right )$$
Метод инвариантов
Дано ур-ние линии 2-порядка:
$$x^{2} - 8 x + y^{2} + 6 y = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
где
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -4$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 3$$
$$a_{33} = 0$$
Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

подставляем коэффициенты
$$I_{1} = 2$$
     |1  0|
I2 = |    |
     |0  1|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & -4\\0 & 1 & 3\\-4 & 3 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 1 & 0\\0 & - \lambda + 1\end{matrix}\right|$$
     |1   -4|   |1  3|
K2 = |      | + |    |
     |-4  0 |   |3  0|

$$I_{1} = 2$$
$$I_{2} = 1$$
$$I_{3} = -25$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \lambda^{2} - 2 \lambda + 1$$
$$K_{2} = -25$$
Т.к.
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
то по признаку типов линий:
данное уравнение имеет тип : окружность
Составляем характеристическое уравнение для нашей линии:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
или
$$\lambda^{2} - 2 \lambda + 1 = 0$$
$$\lambda_{1} = 1$$
$$\lambda_{2} = 1$$
тогда канонический вид уравнения будет
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
или
$$\tilde x^{2} + \tilde y^{2} - 25 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{5^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{5^{2}} = 1$$
- приведено к каноническому виду
График
x^2+y^2-8*x+6*y=0 (канонический вид) /media/krcore-image-pods/hash/8e448e5ef3/56d30f0bb0/ff1bf42c7adb/im.png

Примеры

УравнениеКанонический видТипИзмерение
9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0x^2=1Две параллельные прямыеЛиния
x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0y^2=4*sqrt(2)*xПараболаЛиния
5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0x^2/(1/sqrt(2*sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2*sqrt(2)+3))^2=0Вырожденный эллипсЛиния
5*x^2+ 4*x*y+8*y^2+8*x+14*y+5=0x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1ЭллипсЛиния
2*x^2+4*y^2+z^2-4*x*y-4*y-2*z+5=0z^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3-sqrt(5)))^2+x^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3+sqrt(5)))^2+y^2/(2/sqrt(2))^2=-1Мнимый эллипсоидПоверхность
x^2+y^2-z^2-2*x-2*y+2*z+2=0x^2/1^2+y^2-z^2=-1Двухсторонний гиперболоидПоверхность
x^2+y^2-6*x+6*y-4*z+18=0x^2/2+y^2-2*z=0 или x^2/2+y^2+2*z=0Эллиптический параболоидПоверхность
x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+12*y*z+6*x*z-4*x-8*y-12*z+3=0x^2/=1/14Две параллельные плоскостиПоверхность

Что такое канонический вид?

Подробнее про каноническое преобразование вы можете посмотреть по ссылке

×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: