x^2+y^2-8*x+6*y=0 (канонический вид)

Подробнее про каноническое преобразование вы можете посмотреть по ссылке

Вы ввели

 2    2                
x  + y  - 8*x + 6*y = 0

$$x^{2} - 8 x + y^{2} + 6 y = 0$$

Подробное решение

Дано ур-ние линии 2-порядка:
$$x^{2} - 8 x + y^{2} + 6 y = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
где
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -4$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 3$$
$$a_{33} = 0$$
Вычислим определитель
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
или, подставляем
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 1$$
Т.к.
$$\Delta$$
не равен 0, то
находим центр канонической системы координат. Для этого решаем систему уравнений
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
подставляем коэффициенты
$$x_{0} - 4 = 0$$
$$y_{0} + 3 = 0$$
тогда
$$x_{0} = 4$$
$$y_{0} = -3$$
Тем самым мы перешли к уравнению в системе координат O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
где
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
или
$$a'_{33} = - 4 x_{0} + 3 y_{0}$$
$$a'_{33} = -25$$
тогда ур-ние превратится в
$$x'^{2} + y'^{2} - 25 = 0$$
Данное уравнение является окружностью
$$\frac{\tilde x^{2}}{5^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{5^{2}} = 1$$
- приведено к каноническому виду
Центр канонической системы координат в точке O

(4, -3)

Базис канонической системы координат
$$\vec e_1 = \left ( 1, \quad 0\right )$$
$$\vec e_2 = \left ( 0, \quad 1\right )$$

Метод инвариантов

Дано ур-ние линии 2-порядка:
$$x^{2} - 8 x + y^{2} + 6 y = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
где
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -4$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 3$$
$$a_{33} = 0$$
Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$

     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$

     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

подставляем коэффициенты
$$I_{1} = 2$$

     |1  0|
I2 = |    |
     |0  1|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & -4\\0 & 1 & 3\\-4 & 3 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 1 & 0\\0 & - \lambda + 1\end{matrix}\right|$$

     |1   -4|   |1  3|
K2 = |      | + |    |
     |-4  0 |   |3  0|

$$I_{1} = 2$$
$$I_{2} = 1$$
$$I_{3} = -25$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \lambda^{2} - 2 \lambda + 1$$
$$K_{2} = -25$$
Т.к.
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
то по признаку типов линий:
данное уравнение имеет тип : окружность
Составляем характеристическое уравнение для нашей линии:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
или
$$\lambda^{2} - 2 \lambda + 1 = 0$$
$$\lambda_{1} = 1$$
$$\lambda_{2} = 1$$
тогда канонический вид уравнения будет
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
или
$$\tilde x^{2} + \tilde y^{2} - 25 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{5^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{5^{2}} = 1$$
- приведено к каноническому виду

График