Привести к каноническому виду


Решение

Вы ввели
[LaTeX]
     2    2                
z - x  - y  - 4*y + 2*x = 0
$$- x^{2} + 2 x - y^{2} - 4 y + z = 0$$
Метод инвариантов
[LaTeX]
Дано ур-ние поверхности 2-порядка:
$$- x^{2} + 2 x - y^{2} - 4 y + z = 0$$
Это уравнение имеет вид:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
где
$$a_{11} = -1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = 1$$
$$a_{22} = -1$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = -2$$
$$a_{33} = 0$$
$$a_{34} = \frac{1}{2}$$
$$a_{44} = 0$$
Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a14|   |a22  a24|   |a33  a34|
K2 = |        | + |        | + |        |
     |a14  a44|   |a24  a44|   |a34  a44|

     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

подставляем коэффициенты
$$I_{1} = -2$$
     |-1  0 |   |-1  0|   |-1  0|
I2 = |      | + |     | + |     |
     |0   -1|   |0   0|   |0   0|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 1\\0 & -1 & 0 & -2\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\1 & -2 & \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 1 & 0 & 0\\0 & - \lambda - 1 & 0\\0 & 0 & - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |-1  1|   |-1  -2|   | 0   1/2|
K2 = |     | + |      | + |        |
     |1   0|   |-2  0 |   |1/2   0 |

     |-1  0   1 |   |-1   0   -2 |   |-1   0    1 |
     |          |   |            |   |            |
K3 = |0   -1  -2| + |0    0   1/2| + |0    0   1/2|
     |          |   |            |   |            |
     |1   -2  0 |   |-2  1/2   0 |   |1   1/2   0 |

$$I_{1} = -2$$
$$I_{2} = 1$$
$$I_{3} = 0$$
$$I_{4} = - \frac{1}{4}$$
$$I{\left (\lambda \right )} = - \lambda^{3} - 2 \lambda^{2} - \lambda$$
$$K_{2} = - \frac{21}{4}$$
$$K_{3} = \frac{11}{2}$$
Т.к.
$$I_{3} = 0 \wedge I_{2} \neq 0 \wedge I_{4} \neq 0$$
то по признаку типов поверхностей:
надо
Составляем характеристическое уравнение для нашей поверхности:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
или
$$\lambda^{3} + 2 \lambda^{2} + \lambda = 0$$
$$\lambda_{1} = 0$$
$$\lambda_{2} = -1$$
$$\lambda_{3} = -1$$
тогда канонический вид уравнения будет
$$\tilde z 2 \sqrt{\frac{-1 I_{4}}{I_{2}}} + \tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} = 0$$
и
$$- 2 \tilde z \sqrt{- \frac{I_{4}}{I_{2}}} + \tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} = 0$$
$$- \tilde x^{2} - \tilde y^{2} + \tilde z = 0$$
и
$$- \tilde x^{2} - \tilde y^{2} - \tilde z = 0$$
        2           2                 
\tilde x    \tilde y                  
--------- + --------- - 2*\tilde z = 0
   1/2         1/2                    

и
        2           2                 
\tilde x    \tilde y                  
--------- + --------- + 2*\tilde z = 0
   1/2         1/2                    

это уравнение для типа эллиптический параболоид
- приведено к каноническому виду

Примеры

УравнениеКанонический видТипИзмерение
9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0x^2=1Две параллельные прямыеЛиния
x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0y^2=4*sqrt(2)*xПараболаЛиния
5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0x^2/(1/sqrt(2*sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2*sqrt(2)+3))^2=0Вырожденный эллипсЛиния
5*x^2+ 4*x*y+8*y^2+8*x+14*y+5=0x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1ЭллипсЛиния
2*x^2+4*y^2+z^2-4*x*y-4*y-2*z+5=0z^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3-sqrt(5)))^2+x^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3+sqrt(5)))^2+y^2/(2/sqrt(2))^2=-1Мнимый эллипсоидПоверхность
x^2+y^2-z^2-2*x-2*y+2*z+2=0x^2/1^2+y^2-z^2=-1Двухсторонний гиперболоидПоверхность
x^2+y^2-6*x+6*y-4*z+18=0x^2/2+y^2-2*z=0 или x^2/2+y^2+2*z=0Эллиптический параболоидПоверхность
x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+12*y*z+6*x*z-4*x-8*y-12*z+3=0x^2/=1/14Две параллельные плоскостиПоверхность