3=2*k+b 4=k+b
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
3 = 2*k + b
$$3 = b + 2 k$$
4 = k + b
$$4 = b + k$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$3 = b + 2 k$$
$$4 = b + k$$
Из 1-го ур-ния выразим b
$$3 = b + 2 k$$
Перенесем слагаемое с переменной b из правой части в левую со сменой знака
$$- b + 3 = 2 k$$
$$- b + 3 = 2 k$$
Перенесем свободное слагаемое 3 из левой части в правую со сменой знака
$$- b = 2 k - 3$$
$$- b = 2 k - 3$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при b
$$\frac{-1 b}{-1} = \frac{1}{-1} \left(2 k - 3\right)$$
$$b = - 2 k + 3$$
Подставим найденное b в 2-е ур-ние
$$4 = b + k$$
Получим:
$$4 = k + - 2 k + 3$$
$$4 = - k + 3$$
Перенесем слагаемое с переменной k из правой части в левую со сменой знака
$$- -1 k + 4 = 3$$
$$k + 4 = 3$$
Перенесем свободное слагаемое 4 из левой части в правую со сменой знака
$$k = -1$$
$$k = -1$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при k
$$\frac{k}{k} = - \frac{1}{k}$$
$$\frac{1}{k} = -1$$
Т.к.
$$b = - 2 k + 3$$
то
$$b = - -2 + 3$$
$$b = 5$$
Ответ:
$$b = 5$$
$$\frac{1}{k} = -1$$
$$3 = b + 2 k$$
$$4 = b + k$$
Из 1-го ур-ния выразим b
$$3 = b + 2 k$$
Перенесем слагаемое с переменной b из правой части в левую со сменой знака
$$- b + 3 = 2 k$$
$$- b + 3 = 2 k$$
Перенесем свободное слагаемое 3 из левой части в правую со сменой знака
$$- b = 2 k - 3$$
$$- b = 2 k - 3$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при b
$$\frac{-1 b}{-1} = \frac{1}{-1} \left(2 k - 3\right)$$
$$b = - 2 k + 3$$
Подставим найденное b в 2-е ур-ние
$$4 = b + k$$
Получим:
$$4 = k + - 2 k + 3$$
$$4 = - k + 3$$
Перенесем слагаемое с переменной k из правой части в левую со сменой знака
$$- -1 k + 4 = 3$$
$$k + 4 = 3$$
Перенесем свободное слагаемое 4 из левой части в правую со сменой знака
$$k = -1$$
$$k = -1$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при k
$$\frac{k}{k} = - \frac{1}{k}$$
$$\frac{1}{k} = -1$$
Т.к.
$$b = - 2 k + 3$$
то
$$b = - -2 + 3$$
$$b = 5$$
Ответ:
$$b = 5$$
$$\frac{1}{k} = -1$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$k_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=
$$b_{1} = 5$$
=
$$5$$
=
=
$$-1$$
=
-1
$$b_{1} = 5$$
=
$$5$$
=
5
Метод Крамера
[TeX]
$$3 = b + 2 k$$
$$4 = b + k$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- b - 2 k = -3$$
$$- b - k = -4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- x_{1} - 2 x_{2}\\- x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-1 & -2\\-1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-3 & -2\\-4 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
$$x_{2} = - \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-1 & -3\\-1 & -4\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
$$4 = b + k$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- b - 2 k = -3$$
$$- b - k = -4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- x_{1} - 2 x_{2}\\- x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-1 & -2\\-1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-3 & -2\\-4 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
$$x_{2} = - \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-1 & -3\\-1 & -4\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$3 = b + 2 k$$
$$4 = b + k$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- b - 2 k = -3$$
$$- b - k = -4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-1 & -2 & -3\\-1 & -1 & -4\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-1 & -2 & -3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-1 & -2 & -3\\0 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & -5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & -5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & -5\\0 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- x_{1} + 5 = 0$$
$$x_{2} + 1 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -1$$
$$3 = b + 2 k$$
$$4 = b + k$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- b - 2 k = -3$$
$$- b - k = -4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-1 & -2 & -3\\-1 & -1 & -4\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-1 & -2 & -3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-1 & -2 & -3\\0 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & -5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & -5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & -5\\0 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- x_{1} + 5 = 0$$
$$x_{2} + 1 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -1$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
b1 = 5.00000000000000 k1 = -1.00000000000000