x+5*y=36 8*x-7*y=6
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
x + 5*y = 36
$$x + 5 y = 36$$
8*x - 7*y = 6
$$8 x - 7 y = 6$$
Подробное решение
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$x + 5 y = 36$$
$$8 x - 7 y = 6$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + 5 y = 36$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - 5 y + 36$$
$$x = - 5 y + 36$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$8 x - 7 y = 6$$
Получим:
$$- 7 y + 8 \left(- 5 y + 36\right) = 6$$
$$- 47 y + 288 = 6$$
Перенесем свободное слагаемое 288 из левой части в правую со сменой знака
$$- 47 y = -282$$
$$- 47 y = -282$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-47} \left(-1 \cdot 47 y\right) = 6$$
$$y = 6$$
Т.к.
$$x = - 5 y + 36$$
то
$$x = - 30 + 36$$
$$x = 6$$
Ответ:
$$x = 6$$
$$y = 6$$
$$x + 5 y = 36$$
$$8 x - 7 y = 6$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + 5 y = 36$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - 5 y + 36$$
$$x = - 5 y + 36$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$8 x - 7 y = 6$$
Получим:
$$- 7 y + 8 \left(- 5 y + 36\right) = 6$$
$$- 47 y + 288 = 6$$
Перенесем свободное слагаемое 288 из левой части в правую со сменой знака
$$- 47 y = -282$$
$$- 47 y = -282$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-47} \left(-1 \cdot 47 y\right) = 6$$
$$y = 6$$
Т.к.
$$x = - 5 y + 36$$
то
$$x = - 30 + 36$$
$$x = 6$$
Ответ:
$$x = 6$$
$$y = 6$$
Быстрый ответ
[LaTeX]
$$x_{1} = 6$$
=
$$6$$
=
$$y_{1} = 6$$
=
$$6$$
=
=
$$6$$
=
6
$$y_{1} = 6$$
=
$$6$$
=
6
Метод Крамера
[LaTeX]
$$x + 5 y = 36$$
$$8 x - 7 y = 6$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 5 y = 36$$
$$8 x - 7 y = 6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 5 x_{2}\\8 x_{1} - 7 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}36\\6\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 5\\8 & -7\end{matrix}\right] \right )} = -47$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{47} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}36 & 5\\6 & -7\end{matrix}\right] \right )} = 6$$
$$x_{2} = - \frac{1}{47} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 36\\8 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 6$$
$$8 x - 7 y = 6$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 5 y = 36$$
$$8 x - 7 y = 6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 5 x_{2}\\8 x_{1} - 7 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}36\\6\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 5\\8 & -7\end{matrix}\right] \right )} = -47$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{47} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}36 & 5\\6 & -7\end{matrix}\right] \right )} = 6$$
$$x_{2} = - \frac{1}{47} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 36\\8 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 6$$
Метод Гаусса
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$x + 5 y = 36$$
$$8 x - 7 y = 6$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 5 y = 36$$
$$8 x - 7 y = 6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 36\\8 & -7 & 6\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 36\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -47 & -282\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -47 & -282\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 36\\0 & -47 & -282\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\-47\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -47 & -282\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 6\\0 & -47 & -282\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 6 = 0$$
$$- 47 x_{2} + 282 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = 6$$
$$x + 5 y = 36$$
$$8 x - 7 y = 6$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 5 y = 36$$
$$8 x - 7 y = 6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 36\\8 & -7 & 6\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 36\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -47 & -282\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -47 & -282\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 36\\0 & -47 & -282\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}5\\-47\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -47 & -282\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 6\\0 & -47 & -282\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 6 = 0$$
$$- 47 x_{2} + 282 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = 6$$
Численный ответ
[LaTeX]
x1 = 6.00000000000000 y1 = 6.00000000000000