Дана система ур-ний $$x + 5 y = 36$$ $$8 x - 7 y = 6$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$x + 5 y = 36$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$x = - 5 y + 36$$ $$x = - 5 y + 36$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$8 x - 7 y = 6$$ Получим: $$- 7 y + 8 \left(- 5 y + 36\right) = 6$$ $$- 47 y + 288 = 6$$ Перенесем свободное слагаемое 288 из левой части в правую со сменой знака $$- 47 y = -282$$ $$- 47 y = -282$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{1}{-47} \left(-1 \cdot 47 y\right) = 6$$ $$y = 6$$ Т.к. $$x = - 5 y + 36$$ то $$x = - 30 + 36$$ $$x = 6$$
Ответ: $$x = 6$$ $$y = 6$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 6$$ = $$6$$ =
6
$$y_{1} = 6$$ = $$6$$ =
6
Метод Крамера
$$x + 5 y = 36$$ $$8 x - 7 y = 6$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x + 5 y = 36$$ $$8 x - 7 y = 6$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}x_{1} + 5 x_{2}\\8 x_{1} - 7 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}36\\6\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 5\\8 & -7\end{matrix}\right] \right )} = -47$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{47} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}36 & 5\\6 & -7\end{matrix}\right] \right )} = 6$$ $$x_{2} = - \frac{1}{47} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 36\\8 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 6$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$x + 5 y = 36$$ $$8 x - 7 y = 6$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x + 5 y = 36$$ $$8 x - 7 y = 6$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 36\\8 & -7 & 6\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 36\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & -47 & -282\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -47 & -282\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & 5 & 36\\0 & -47 & -282\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}5\\-47\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & -47 & -282\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 6\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 6\\0 & -47 & -282\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$x_{1} - 6 = 0$$ $$- 47 x_{2} + 282 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 6$$ $$x_{2} = 6$$