4*x-2*y=2 2*x+y=5

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
4*x - 2*y = 2
$$4 x - 2 y = 2$$
2*x + y = 5
$$2 x + y = 5$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$4 x - 2 y = 2$$
$$2 x + y = 5$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$4 x - 2 y = 2$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$4 x - 2 y + 2 y = - -1 \cdot 2 y + 2$$
$$4 x = 2 y + 2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4} \left(2 y + 2\right)$$
$$x = \frac{y}{2} + \frac{1}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x + y = 5$$
Получим:
$$y + 2 \left(\frac{y}{2} + \frac{1}{2}\right) = 5$$
$$2 y + 1 = 5$$
Перенесем свободное слагаемое 1 из левой части в правую со сменой знака
$$2 y = 4$$
$$2 y = 4$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{2 y}{2} = 2$$
$$y = 2$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{2} + \frac{1}{2}$$
то
$$x = \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$$
$$x = \frac{3}{2}$$

Ответ:
$$x = \frac{3}{2}$$
$$y = 2$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
=
$$\frac{3}{2}$$
=
1.5

$$y_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
2
Метод Крамера
[TeX]
$$4 x - 2 y = 2$$
$$2 x + y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 2 y = 2$$
$$2 x + y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 x_{1} - 2 x_{2}\\2 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & -2\\2 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 8$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{8} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -2\\5 & 1\end{matrix}\right] \right )} = \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{8} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 2\\2 & 5\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$4 x - 2 y = 2$$
$$2 x + y = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 x - 2 y = 2$$
$$2 x + y = 5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}4 & -2 & 2\\2 & 1 & 5\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}4 & -2 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & -2 & 2\\0 & 2 & 4\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 6\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 6\\0 & 2 & 4\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} - 6 = 0$$
$$2 x_{2} - 4 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = 2$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 1.50000000000000
y1 = 2.00000000000000