3*x-2*y+5*z=7 7*x+4*y-8*z=3 5*x-3*y-4*z=-12

Вы ввели

3*x - 2*y + 5*z = 7

$$5 z + 3 x - 2 y = 7$$

7*x + 4*y - 8*z = 3

$$- 8 z + 7 x + 4 y = 3$$

5*x - 3*y - 4*z = -12

$$- 4 z + 5 x - 3 y = -12$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$z_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

Метод Крамера

$$5 z + 3 x - 2 y = 7$$
$$- 8 z + 7 x + 4 y = 3$$
$$- 4 z + 5 x - 3 y = -12$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - 2 y + 5 z = 7$$
$$7 x + 4 y - 8 z = 3$$
$$5 x - 3 y - 4 z = -12$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}5 x_{3} + 3 x_{1} - 2 x_{2}\\- 8 x_{3} + 7 x_{1} + 4 x_{2}\\- 4 x_{3} + 5 x_{1} - 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\3\\-12\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -2 & 5\\7 & 4 & -8\\5 & -3 & -4\end{matrix}\right] \right )} = -301$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{301} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}7 & -2 & 5\\3 & 4 & -8\\-12 & -3 & -4\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{301} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 7 & 5\\7 & 3 & -8\\5 & -12 & -4\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
$$x_{3} = - \frac{1}{301} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -2 & 7\\7 & 4 & 3\\5 & -3 & -12\end{matrix}\right] \right )} = 2$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$5 z + 3 x - 2 y = 7$$
$$- 8 z + 7 x + 4 y = 3$$
$$- 4 z + 5 x - 3 y = -12$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - 2 y + 5 z = 7$$
$$7 x + 4 y - 8 z = 3$$
$$5 x - 3 y - 4 z = -12$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & -2 & 5 & 7\\7 & 4 & -8 & 3\\5 & -3 & -4 & -12\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\7\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & -2 & 5 & 7\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 - - \frac{14}{3} & - \frac{35}{3} - 8 & - \frac{49}{3} + 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{26}{3} & - \frac{59}{3} & - \frac{40}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & -2 & 5 & 7\\0 & \frac{26}{3} & - \frac{59}{3} & - \frac{40}{3}\\5 & -3 & -4 & -12\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 - - \frac{10}{3} & - \frac{25}{3} - 4 & -12 - \frac{35}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{3} & - \frac{37}{3} & - \frac{71}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & -2 & 5 & 7\\0 & \frac{26}{3} & - \frac{59}{3} & - \frac{40}{3}\\0 & \frac{1}{3} & - \frac{37}{3} & - \frac{71}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-2\\\frac{26}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{26}{3} & - \frac{59}{3} & - \frac{40}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{59}{13} + 5 & - \frac{40}{13} + 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{6}{13} & \frac{51}{13}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{6}{13} & \frac{51}{13}\\0 & \frac{26}{3} & - \frac{59}{3} & - \frac{40}{3}\\0 & \frac{1}{3} & - \frac{37}{3} & - \frac{71}{3}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} & - \frac{37}{3} - - \frac{59}{78} & - \frac{71}{3} - - \frac{20}{39}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{301}{26} & - \frac{301}{13}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{6}{13} & \frac{51}{13}\\0 & \frac{26}{3} & - \frac{59}{3} & - \frac{40}{3}\\0 & 0 & - \frac{301}{26} & - \frac{301}{13}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{6}{13}\\- \frac{59}{3}\\- \frac{301}{26}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{301}{26} & - \frac{301}{13}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & - \frac{6}{13} + \frac{6}{13} & - \frac{12}{13} + \frac{51}{13}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 3\\0 & \frac{26}{3} & - \frac{59}{3} & - \frac{40}{3}\\0 & 0 & - \frac{301}{26} & - \frac{301}{13}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{26}{3} & - \frac{59}{3} - - \frac{59}{3} & - \frac{40}{3} - - \frac{118}{3}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{26}{3} & 0 & 26\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 3\\0 & \frac{26}{3} & 0 & 26\\0 & 0 & - \frac{301}{26} & - \frac{301}{13}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - 3 = 0$$
$$\frac{26 x_{2}}{3} - 26 = 0$$
$$- \frac{301 x_{3}}{26} + \frac{301}{13} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 2$$

Численный ответ

x1 = 1.00000000000000
y1 = 3.00000000000000
z1 = 2.00000000000000