259*x/500-143*y/1000-z/4=-13 -99*x+1643*y/1000-z/2=4 -x/4-y/2+19*z/20=13
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
259*x 143*y z ----- - ----- - - = -13 500 1000 4
$$- \frac{z}{4} + \frac{259 x}{500} - \frac{143 y}{1000} = -13$$
1643*y z
-99*x + ------ - - = 4
1000 2
$$- \frac{z}{2} + - 99 x + \frac{1643 y}{1000} = 4$$
-x y 19*z --- - - + ---- = 13 4 2 20
$$\frac{19 z}{20} + \frac{-1 x}{4} - \frac{y}{2} = 13$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = \frac{16214000}{42109487}$$
=
$$\frac{16214000}{42109487}$$
=
$$z_{1} = \frac{4103188940}{126328461}$$
=
$$\frac{4103188940}{126328461}$$
=
$$y_{1} = \frac{4487198000}{126328461}$$
=
$$\frac{4487198000}{126328461}$$
=
=
$$\frac{16214000}{42109487}$$
=
0.385043873842491
$$z_{1} = \frac{4103188940}{126328461}$$
=
$$\frac{4103188940}{126328461}$$
=
32.4803208043514
$$y_{1} = \frac{4487198000}{126328461}$$
=
$$\frac{4487198000}{126328461}$$
=
35.5200875913465
Метод Крамера
[TeX]
$$- \frac{z}{4} + \frac{259 x}{500} - \frac{143 y}{1000} = -13$$
$$- \frac{z}{2} + - 99 x + \frac{1643 y}{1000} = 4$$
$$\frac{19 z}{20} + \frac{-1 x}{4} - \frac{y}{2} = 13$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{259 x}{500} - \frac{143 y}{1000} - \frac{z}{4} = -13$$
$$- 99 x + \frac{1643 y}{1000} - \frac{z}{2} = 4$$
$$- \frac{x}{4} - \frac{y}{2} + \frac{19 z}{20} = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- \frac{x_{3}}{4} + \frac{259 x_{1}}{500} - \frac{143 x_{2}}{1000}\\- \frac{x_{3}}{2} + - 99 x_{1} + \frac{1643 x_{2}}{1000}\\\frac{19 x_{3}}{20} + - \frac{x_{1}}{4} - \frac{x_{2}}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-13\\4\\13\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & - \frac{143}{1000} & - \frac{1}{4}\\-99 & \frac{1643}{1000} & - \frac{1}{2}\\- \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{19}{20}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{126328461}{5000000}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{5000000}{126328461} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-13 & - \frac{143}{1000} & - \frac{1}{4}\\4 & \frac{1643}{1000} & - \frac{1}{2}\\13 & - \frac{1}{2} & \frac{19}{20}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{16214000}{42109487}$$
$$x_{2} = - \frac{5000000}{126328461} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & -13 & - \frac{1}{4}\\-99 & 4 & - \frac{1}{2}\\- \frac{1}{4} & 13 & \frac{19}{20}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{4487198000}{126328461}$$
$$x_{3} = - \frac{5000000}{126328461} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & - \frac{143}{1000} & -13\\-99 & \frac{1643}{1000} & 4\\- \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & 13\end{matrix}\right] \right )} = \frac{4103188940}{126328461}$$
$$- \frac{z}{2} + - 99 x + \frac{1643 y}{1000} = 4$$
$$\frac{19 z}{20} + \frac{-1 x}{4} - \frac{y}{2} = 13$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{259 x}{500} - \frac{143 y}{1000} - \frac{z}{4} = -13$$
$$- 99 x + \frac{1643 y}{1000} - \frac{z}{2} = 4$$
$$- \frac{x}{4} - \frac{y}{2} + \frac{19 z}{20} = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- \frac{x_{3}}{4} + \frac{259 x_{1}}{500} - \frac{143 x_{2}}{1000}\\- \frac{x_{3}}{2} + - 99 x_{1} + \frac{1643 x_{2}}{1000}\\\frac{19 x_{3}}{20} + - \frac{x_{1}}{4} - \frac{x_{2}}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-13\\4\\13\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & - \frac{143}{1000} & - \frac{1}{4}\\-99 & \frac{1643}{1000} & - \frac{1}{2}\\- \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{19}{20}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{126328461}{5000000}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{5000000}{126328461} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-13 & - \frac{143}{1000} & - \frac{1}{4}\\4 & \frac{1643}{1000} & - \frac{1}{2}\\13 & - \frac{1}{2} & \frac{19}{20}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{16214000}{42109487}$$
$$x_{2} = - \frac{5000000}{126328461} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & -13 & - \frac{1}{4}\\-99 & 4 & - \frac{1}{2}\\- \frac{1}{4} & 13 & \frac{19}{20}\end{matrix}\right] \right )} = \frac{4487198000}{126328461}$$
$$x_{3} = - \frac{5000000}{126328461} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & - \frac{143}{1000} & -13\\-99 & \frac{1643}{1000} & 4\\- \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & 13\end{matrix}\right] \right )} = \frac{4103188940}{126328461}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- \frac{z}{4} + \frac{259 x}{500} - \frac{143 y}{1000} = -13$$
$$- \frac{z}{2} + - 99 x + \frac{1643 y}{1000} = 4$$
$$\frac{19 z}{20} + \frac{-1 x}{4} - \frac{y}{2} = 13$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{259 x}{500} - \frac{143 y}{1000} - \frac{z}{4} = -13$$
$$- 99 x + \frac{1643 y}{1000} - \frac{z}{2} = 4$$
$$- \frac{x}{4} - \frac{y}{2} + \frac{19 z}{20} = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & - \frac{143}{1000} & - \frac{1}{4} & -13\\-99 & \frac{1643}{1000} & - \frac{1}{2} & 4\\- \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{19}{20} & 13\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500}\\-99\\- \frac{1}{4}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & - \frac{143}{1000} & - \frac{1}{4} & -13\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{14157}{518} + \frac{1643}{1000} & - \frac{12375}{259} - \frac{1}{2} & - \frac{643500}{259} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{6652963}{259000} & - \frac{25009}{518} & - \frac{642464}{259}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & - \frac{143}{1000} & - \frac{1}{4} & -13\\0 & - \frac{6652963}{259000} & - \frac{25009}{518} & - \frac{642464}{259}\\- \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{19}{20} & 13\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{4} - - \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} - \frac{143}{2072} & - \frac{125}{1036} + \frac{19}{20} & - \frac{1625}{259} + 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{1179}{2072} & \frac{1074}{1295} & \frac{1742}{259}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & - \frac{143}{1000} & - \frac{1}{4} & -13\\0 & - \frac{6652963}{259000} & - \frac{25009}{518} & - \frac{642464}{259}\\0 & - \frac{1179}{2072} & \frac{1074}{1295} & \frac{1742}{259}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{143}{1000}\\- \frac{6652963}{259000}\\- \frac{1179}{2072}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{6652963}{259000} & - \frac{25009}{518} & - \frac{642464}{259}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & - \frac{143}{1000} - - \frac{143}{1000} & - \frac{1}{4} - - \frac{3576287}{13305926} & -13 - - \frac{91872352}{6652963}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & 0 & \frac{499611}{26611852} & \frac{5383833}{6652963}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & 0 & \frac{499611}{26611852} & \frac{5383833}{6652963}\\0 & - \frac{6652963}{259000} & - \frac{25009}{518} & - \frac{642464}{259}\\0 & - \frac{1179}{2072} & \frac{1074}{1295} & \frac{1742}{259}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1179}{2072} - - \frac{1179}{2072} & \frac{1074}{1295} - - \frac{3685701375}{3446234834} & \frac{1742}{259} - - \frac{94683132000}{1723117417}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{126328461}{66529630} & \frac{410318894}{6652963}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & 0 & \frac{499611}{26611852} & \frac{5383833}{6652963}\\0 & - \frac{6652963}{259000} & - \frac{25009}{518} & - \frac{642464}{259}\\0 & 0 & \frac{126328461}{66529630} & \frac{410318894}{6652963}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{499611}{26611852}\\- \frac{25009}{518}\\\frac{126328461}{66529630}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{126328461}{66529630} & \frac{410318894}{6652963}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & 0 & - \frac{499611}{26611852} + \frac{499611}{26611852} & - \frac{24404742017885}{40021836994283} + \frac{5383833}{6652963}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & 0 & 0 & \frac{1199836}{6015641}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & 0 & 0 & \frac{1199836}{6015641}\\0 & - \frac{6652963}{259000} & - \frac{25009}{518} & - \frac{642464}{259}\\0 & 0 & \frac{126328461}{66529630} & \frac{410318894}{6652963}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{6652963}{259000} & - \frac{25009}{518} - - \frac{25009}{518} & - \frac{642464}{259} - - \frac{51308326100230}{32719071399}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{6652963}{259000} & 0 & - \frac{29853162267674}{32719071399}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & 0 & 0 & \frac{1199836}{6015641}\\0 & - \frac{6652963}{259000} & 0 & - \frac{29853162267674}{32719071399}\\0 & 0 & \frac{126328461}{66529630} & \frac{410318894}{6652963}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$\frac{259 x_{1}}{500} - \frac{1199836}{6015641} = 0$$
$$- \frac{6652963 x_{2}}{259000} + \frac{29853162267674}{32719071399} = 0$$
$$\frac{126328461 x_{3}}{66529630} - \frac{410318894}{6652963} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{16214000}{42109487}$$
$$x_{2} = \frac{4487198000}{126328461}$$
$$x_{3} = \frac{4103188940}{126328461}$$
$$- \frac{z}{4} + \frac{259 x}{500} - \frac{143 y}{1000} = -13$$
$$- \frac{z}{2} + - 99 x + \frac{1643 y}{1000} = 4$$
$$\frac{19 z}{20} + \frac{-1 x}{4} - \frac{y}{2} = 13$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$\frac{259 x}{500} - \frac{143 y}{1000} - \frac{z}{4} = -13$$
$$- 99 x + \frac{1643 y}{1000} - \frac{z}{2} = 4$$
$$- \frac{x}{4} - \frac{y}{2} + \frac{19 z}{20} = 13$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & - \frac{143}{1000} & - \frac{1}{4} & -13\\-99 & \frac{1643}{1000} & - \frac{1}{2} & 4\\- \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{19}{20} & 13\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500}\\-99\\- \frac{1}{4}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & - \frac{143}{1000} & - \frac{1}{4} & -13\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{14157}{518} + \frac{1643}{1000} & - \frac{12375}{259} - \frac{1}{2} & - \frac{643500}{259} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{6652963}{259000} & - \frac{25009}{518} & - \frac{642464}{259}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & - \frac{143}{1000} & - \frac{1}{4} & -13\\0 & - \frac{6652963}{259000} & - \frac{25009}{518} & - \frac{642464}{259}\\- \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{19}{20} & 13\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{4} - - \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} - \frac{143}{2072} & - \frac{125}{1036} + \frac{19}{20} & - \frac{1625}{259} + 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{1179}{2072} & \frac{1074}{1295} & \frac{1742}{259}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & - \frac{143}{1000} & - \frac{1}{4} & -13\\0 & - \frac{6652963}{259000} & - \frac{25009}{518} & - \frac{642464}{259}\\0 & - \frac{1179}{2072} & \frac{1074}{1295} & \frac{1742}{259}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{143}{1000}\\- \frac{6652963}{259000}\\- \frac{1179}{2072}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{6652963}{259000} & - \frac{25009}{518} & - \frac{642464}{259}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & - \frac{143}{1000} - - \frac{143}{1000} & - \frac{1}{4} - - \frac{3576287}{13305926} & -13 - - \frac{91872352}{6652963}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & 0 & \frac{499611}{26611852} & \frac{5383833}{6652963}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & 0 & \frac{499611}{26611852} & \frac{5383833}{6652963}\\0 & - \frac{6652963}{259000} & - \frac{25009}{518} & - \frac{642464}{259}\\0 & - \frac{1179}{2072} & \frac{1074}{1295} & \frac{1742}{259}\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1179}{2072} - - \frac{1179}{2072} & \frac{1074}{1295} - - \frac{3685701375}{3446234834} & \frac{1742}{259} - - \frac{94683132000}{1723117417}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{126328461}{66529630} & \frac{410318894}{6652963}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & 0 & \frac{499611}{26611852} & \frac{5383833}{6652963}\\0 & - \frac{6652963}{259000} & - \frac{25009}{518} & - \frac{642464}{259}\\0 & 0 & \frac{126328461}{66529630} & \frac{410318894}{6652963}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{499611}{26611852}\\- \frac{25009}{518}\\\frac{126328461}{66529630}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{126328461}{66529630} & \frac{410318894}{6652963}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & 0 & - \frac{499611}{26611852} + \frac{499611}{26611852} & - \frac{24404742017885}{40021836994283} + \frac{5383833}{6652963}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & 0 & 0 & \frac{1199836}{6015641}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & 0 & 0 & \frac{1199836}{6015641}\\0 & - \frac{6652963}{259000} & - \frac{25009}{518} & - \frac{642464}{259}\\0 & 0 & \frac{126328461}{66529630} & \frac{410318894}{6652963}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{6652963}{259000} & - \frac{25009}{518} - - \frac{25009}{518} & - \frac{642464}{259} - - \frac{51308326100230}{32719071399}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{6652963}{259000} & 0 & - \frac{29853162267674}{32719071399}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}\frac{259}{500} & 0 & 0 & \frac{1199836}{6015641}\\0 & - \frac{6652963}{259000} & 0 & - \frac{29853162267674}{32719071399}\\0 & 0 & \frac{126328461}{66529630} & \frac{410318894}{6652963}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$\frac{259 x_{1}}{500} - \frac{1199836}{6015641} = 0$$
$$- \frac{6652963 x_{2}}{259000} + \frac{29853162267674}{32719071399} = 0$$
$$\frac{126328461 x_{3}}{66529630} - \frac{410318894}{6652963} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{16214000}{42109487}$$
$$x_{2} = \frac{4487198000}{126328461}$$
$$x_{3} = \frac{4103188940}{126328461}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 0.3850438738424906 y1 = 35.5200875913465 z1 = 32.48032080435144