2*x+3*y=13 5*x-y=7

Вы ввели

2*x + 3*y = 13

$$2 x + 3 y = 13$$

5*x - y = 7

$$5 x - y = 7$$

Подробное решение

Дана система ур-ний
$$2 x + 3 y = 13$$
$$5 x - y = 7$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$2 x + 3 y = 13$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$2 x = - 3 y + 13$$
$$2 x = - 3 y + 13$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- 3 y + 13\right)$$
$$x = - \frac{3 y}{2} + \frac{13}{2}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$5 x - y = 7$$
Получим:
$$- y + 5 \left(- \frac{3 y}{2} + \frac{13}{2}\right) = 7$$
$$- \frac{17 y}{2} + \frac{65}{2} = 7$$
Перенесем свободное слагаемое 65/2 из левой части в правую со сменой знака
$$- \frac{17 y}{2} = - \frac{51}{2}$$
$$- \frac{17 y}{2} = - \frac{51}{2}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 \frac{17}{2} y}{- \frac{17}{2}} = 3$$
$$y = 3$$
Т.к.
$$x = - \frac{3 y}{2} + \frac{13}{2}$$
то
$$x = - \frac{9}{2} + \frac{13}{2}$$
$$x = 2$$

Ответ:
$$x = 2$$
$$y = 3$$

Быстрый ответ

$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=

2

$$y_{1} = 3$$
=
$$3$$
=

3

Метод Крамера

$$2 x + 3 y = 13$$
$$5 x - y = 7$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 3 y = 13$$
$$5 x - y = 7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + 3 x_{2}\\5 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 3\\5 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -17$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{17} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}13 & 3\\7 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{17} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 13\\5 & 7\end{matrix}\right] \right )} = 3$$

Метод Гаусса

Дана система ур-ний
$$2 x + 3 y = 13$$
$$5 x - y = 7$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x + 3 y = 13$$
$$5 x - y = 7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 3 & 13\\5 & -1 & 7\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 3 & 13\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{15}{2} - 1 & - \frac{65}{2} + 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & - \frac{51}{2}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 3 & 13\\0 & - \frac{17}{2} & - \frac{51}{2}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\- \frac{17}{2}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & - \frac{51}{2}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\\0 & - \frac{17}{2} & - \frac{51}{2}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} - 4 = 0$$
$$- \frac{17 x_{2}}{2} + \frac{51}{2} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$

Численный ответ

x1 = 2.00000000000000
y1 = 3.00000000000000