Дана система ур-ний $$2 x + 3 y = 13$$ $$5 x - y = 7$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$2 x + 3 y = 13$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$2 x = - 3 y + 13$$ $$2 x = - 3 y + 13$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(- 3 y + 13\right)$$ $$x = - \frac{3 y}{2} + \frac{13}{2}$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$5 x - y = 7$$ Получим: $$- y + 5 \left(- \frac{3 y}{2} + \frac{13}{2}\right) = 7$$ $$- \frac{17 y}{2} + \frac{65}{2} = 7$$ Перенесем свободное слагаемое 65/2 из левой части в правую со сменой знака $$- \frac{17 y}{2} = - \frac{51}{2}$$ $$- \frac{17 y}{2} = - \frac{51}{2}$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{-1 \frac{17}{2} y}{- \frac{17}{2}} = 3$$ $$y = 3$$ Т.к. $$x = - \frac{3 y}{2} + \frac{13}{2}$$ то $$x = - \frac{9}{2} + \frac{13}{2}$$ $$x = 2$$
Ответ: $$x = 2$$ $$y = 3$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 2$$ = $$2$$ =
2
$$y_{1} = 3$$ = $$3$$ =
3
Метод Крамера
$$2 x + 3 y = 13$$ $$5 x - y = 7$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$2 x + 3 y = 13$$ $$5 x - y = 7$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + 3 x_{2}\\5 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 3\\5 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -17$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{17} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}13 & 3\\7 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$ $$x_{2} = - \frac{1}{17} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 13\\5 & 7\end{matrix}\right] \right )} = 3$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$2 x + 3 y = 13$$ $$5 x - y = 7$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$2 x + 3 y = 13$$ $$5 x - y = 7$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}2 & 3 & 13\\5 & -1 & 7\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}2 & 3 & 13\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{15}{2} - 1 & - \frac{65}{2} + 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & - \frac{51}{2}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}2 & 3 & 13\\0 & - \frac{17}{2} & - \frac{51}{2}\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}3\\- \frac{17}{2}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{17}{2} & - \frac{51}{2}\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\\0 & - \frac{17}{2} & - \frac{51}{2}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$2 x_{1} - 4 = 0$$ $$- \frac{17 x_{2}}{2} + \frac{51}{2} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 2$$ $$x_{2} = 3$$