Дана система ур-ний $$2 x - 6 y = 18$$ $$3 y + 3 \left(x + 1\right) = 2 y - 2$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$2 x - 6 y = 18$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$2 x - 6 y + 6 y = - -1 \cdot 6 y + 18$$ $$2 x = 6 y + 18$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} \left(6 y + 18\right)$$ $$x = 3 y + 9$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$3 y + 3 \left(x + 1\right) = 2 y - 2$$ Получим: $$3 y + 3 \left(3 y + 9 + 1\right) = 2 y - 2$$ $$12 y + 30 = 2 y - 2$$ Перенесем слагаемое с переменной y из правой части в левую со сменой знака $$- 2 y + 12 y + 30 = -2$$ $$10 y + 30 = -2$$ Перенесем свободное слагаемое 30 из левой части в правую со сменой знака $$10 y = -32$$ $$10 y = -32$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{10 y}{10} = - \frac{16}{5}$$ $$y = - \frac{16}{5}$$ Т.к. $$x = 3 y + 9$$ то $$x = \frac{-48}{5} + 9$$ $$x = - \frac{3}{5}$$
$$2 x - 6 y = 18$$ $$3 y + 3 \left(x + 1\right) = 2 y - 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$2 x - 6 y = 18$$ $$3 x + y = -5$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}2 x_{1} - 6 x_{2}\\3 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}18\\-5\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & -6\\3 & 1\end{matrix}\right] \right )} = 20$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = \frac{1}{20} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}18 & -6\\-5 & 1\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{3}{5}$$ $$x_{2} = \frac{1}{20} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 18\\3 & -5\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{16}{5}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$2 x - 6 y = 18$$ $$3 y + 3 \left(x + 1\right) = 2 y - 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$2 x - 6 y = 18$$ $$3 x + y = -5$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}2 & -6 & 18\\3 & 1 & -5\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}2 & -6 & 18\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & 10 & -32\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 10 & -32\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}2 & -6 & 18\\0 & 10 & -32\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & 10 & -32\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{96}{5} + 18\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{6}{5}\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}2 & 0 & - \frac{6}{5}\\0 & 10 & -32\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$2 x_{1} + \frac{6}{5} = 0$$ $$10 x_{2} + 32 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = - \frac{3}{5}$$ $$x_{2} = - \frac{16}{5}$$