2*x1+x2=2 2*x1-3*x2=-6
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
2*x1 + x2 = 2
$$2 x_{1} + x_{2} = 2$$
2*x1 - 3*x2 = -6
$$2 x_{1} - 3 x_{2} = -6$$
Подробное решение
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$2 x_{1} + x_{2} = 2$$
$$2 x_{1} - 3 x_{2} = -6$$
Из 1-го ур-ния выразим x1
$$2 x_{1} + x_{2} = 2$$
Перенесем слагаемое с переменной x2 из левой части в правую со сменой знака
$$2 x_{1} = - x_{2} + 2$$
$$2 x_{1} = - x_{2} + 2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x1
$$\frac{2 x_{1}}{2} = \frac{1}{2} \left(- x_{2} + 2\right)$$
$$x_{1} = - \frac{x_{2}}{2} + 1$$
Подставим найденное x1 в 2-е ур-ние
$$2 x_{1} - 3 x_{2} = -6$$
Получим:
$$- 3 x_{2} + 2 \left(- \frac{x_{2}}{2} + 1\right) = -6$$
$$- 4 x_{2} + 2 = -6$$
Перенесем свободное слагаемое 2 из левой части в правую со сменой знака
$$- 4 x_{2} = -8$$
$$- 4 x_{2} = -8$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x2
$$\frac{-1 \cdot 4 x_{2}}{-1 \cdot 4 x_{2}} = - 8 \left(- \frac{1}{4 x_{2}}\right)$$
$$\frac{2}{x_{2}} = 1$$
Т.к.
$$x_{1} = - \frac{x_{2}}{2} + 1$$
то
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + 1$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Ответ:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$\frac{2}{x_{2}} = 1$$
$$2 x_{1} + x_{2} = 2$$
$$2 x_{1} - 3 x_{2} = -6$$
Из 1-го ур-ния выразим x1
$$2 x_{1} + x_{2} = 2$$
Перенесем слагаемое с переменной x2 из левой части в правую со сменой знака
$$2 x_{1} = - x_{2} + 2$$
$$2 x_{1} = - x_{2} + 2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x1
$$\frac{2 x_{1}}{2} = \frac{1}{2} \left(- x_{2} + 2\right)$$
$$x_{1} = - \frac{x_{2}}{2} + 1$$
Подставим найденное x1 в 2-е ур-ние
$$2 x_{1} - 3 x_{2} = -6$$
Получим:
$$- 3 x_{2} + 2 \left(- \frac{x_{2}}{2} + 1\right) = -6$$
$$- 4 x_{2} + 2 = -6$$
Перенесем свободное слагаемое 2 из левой части в правую со сменой знака
$$- 4 x_{2} = -8$$
$$- 4 x_{2} = -8$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x2
$$\frac{-1 \cdot 4 x_{2}}{-1 \cdot 4 x_{2}} = - 8 \left(- \frac{1}{4 x_{2}}\right)$$
$$\frac{2}{x_{2}} = 1$$
Т.к.
$$x_{1} = - \frac{x_{2}}{2} + 1$$
то
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + 1$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Ответ:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$\frac{2}{x_{2}} = 1$$
Быстрый ответ
[LaTeX]
$$x_{11} = 0$$
=
$$0$$
=
$$x_{21} = 2$$
=
$$2$$
=
=
$$0$$
=
0
$$x_{21} = 2$$
=
$$2$$
=
2
Метод Крамера
[LaTeX]
$$2 x_{1} + x_{2} = 2$$
$$2 x_{1} - 3 x_{2} = -6$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x_{1} + x_{2} = 2$$
$$2 x_{1} - 3 x_{2} = -6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} - 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1\\2 & -3\end{matrix}\right] \right )} = -8$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{8} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1\\-6 & -3\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{1}{8} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 2\\2 & -6\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$2 x_{1} - 3 x_{2} = -6$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x_{1} + x_{2} = 2$$
$$2 x_{1} - 3 x_{2} = -6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} - 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1\\2 & -3\end{matrix}\right] \right )} = -8$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{8} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 1\\-6 & -3\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{1}{8} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & 2\\2 & -6\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
Метод Гаусса
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$2 x_{1} + x_{2} = 2$$
$$2 x_{1} - 3 x_{2} = -6$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x_{1} + x_{2} = 2$$
$$2 x_{1} - 3 x_{2} = -6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 2\\2 & -3 & -6\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -4 & -8\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 2\\0 & -4 & -8\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -8\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0\\0 & -4 & -8\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} = 0$$
$$- 4 x_{2} + 8 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$2 x_{1} + x_{2} = 2$$
$$2 x_{1} - 3 x_{2} = -6$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$2 x_{1} + x_{2} = 2$$
$$2 x_{1} - 3 x_{2} = -6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 2\\2 & -3 & -6\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -8\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -4 & -8\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 1 & 2\\0 & -4 & -8\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -8\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0\\0 & -4 & -8\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$2 x_{1} = 0$$
$$- 4 x_{2} + 8 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Численный ответ
[LaTeX]
x11 = 0.0 x21 = 2.00000000000000