3*x-y=1 -x+2*y=7

1 уравнение:
2 уравнение:
3 уравнение:
4 уравнение:
5 уравнение:
6 уравнение:
7 уравнение:
8 уравнение:
9 уравнение:
10 уравнение:
11 уравнение:
12 уравнение:
13 уравнение:
14 уравнение:
15 уравнение:
16 уравнение:
17 уравнение:
18 уравнение:
19 уравнение:
20 уравнение:
21 уравнение:
22 уравнение:
23 уравнение:
24 уравнение:
25 уравнение:
26 уравнение:
27 уравнение:
28 уравнение:
29 уравнение:
30 уравнение:
31 уравнение:
32 уравнение:
33 уравнение:
34 уравнение:
35 уравнение:
36 уравнение:
37 уравнение:
38 уравнение:
39 уравнение:
40 уравнение:
41 уравнение:
42 уравнение:
43 уравнение:
44 уравнение:
45 уравнение:
46 уравнение:
47 уравнение:
48 уравнение:
49 уравнение:
50 уравнение:
51 уравнение:
52 уравнение:

Примеры

Решение

Вы ввели [src]
3*x - y = 1
$$3 x - y = 1$$
-x + 2*y = 7
$$- x + 2 y = 7$$
Подробное решение
Дана система ур-ний
$$3 x - y = 1$$
$$- x + 2 y = 7$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$3 x - y = 1$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$3 x = - -1 y + 1$$
$$3 x = y + 1$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3} \left(y + 1\right)$$
$$x = \frac{y}{3} + \frac{1}{3}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- x + 2 y = 7$$
Получим:
$$2 y - \frac{y}{3} + \frac{1}{3} = 7$$
$$\frac{5 y}{3} - \frac{1}{3} = 7$$
Перенесем свободное слагаемое -1/3 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{5 y}{3} = \frac{22}{3}$$
$$\frac{5 y}{3} = \frac{22}{3}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{\frac{5}{3} y}{\frac{5}{3}} = \frac{22}{5}$$
$$y = \frac{22}{5}$$
Т.к.
$$x = \frac{y}{3} + \frac{1}{3}$$
то
$$x = \frac{1}{3} + \frac{22}{15}$$
$$x = \frac{9}{5}$$

Ответ:
$$x = \frac{9}{5}$$
$$y = \frac{22}{5}$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = \frac{9}{5}$$
=
$$\frac{9}{5}$$
=
1.8

$$y_{1} = \frac{22}{5}$$
=
$$\frac{22}{5}$$
=
4.4
Метод Крамера
$$3 x - y = 1$$
$$- x + 2 y = 7$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - y = 1$$
$$- x + 2 y = 7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 x_{1} - x_{2}\\- x_{1} + 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & -1\\-1 & 2\end{matrix}\right] \right )} = 5$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -1\\7 & 2\end{matrix}\right] \right )} = \frac{9}{5}$$
$$x_{2} = \frac{1}{5} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}3 & 1\\-1 & 7\end{matrix}\right] \right )} = \frac{22}{5}$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$3 x - y = 1$$
$$- x + 2 y = 7$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$3 x - y = 1$$
$$- x + 2 y = 7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1\\-1 & 2 & 7\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{1}{3} + 2 & - \frac{-1}{3} + 7\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{3} & \frac{22}{3}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & -1 & 1\\0 & \frac{5}{3} & \frac{22}{3}\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{3} & \frac{22}{3}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 1 - - \frac{22}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{27}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & \frac{27}{5}\\0 & \frac{5}{3} & \frac{22}{3}\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$3 x_{1} - \frac{27}{5} = 0$$
$$\frac{5 x_{2}}{3} - \frac{22}{3} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = \frac{9}{5}$$
$$x_{2} = \frac{22}{5}$$
Численный ответ [src]
x1 = 1.80000000000000
y1 = 4.40000000000000