6*x+6*y=840 8*x+4*y=800

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

6*x + 6*y = 840

$$6 x + 6 y = 840$$

8*x + 4*y = 800

$$8 x + 4 y = 800$$

Подробное решение

[TeX]

Дана система ур-ний
$$6 x + 6 y = 840$$
$$8 x + 4 y = 800$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$6 x + 6 y = 840$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$6 x = - 6 y + 840$$
$$6 x = - 6 y + 840$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6} \left(- 6 y + 840\right)$$
$$x = - y + 140$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$8 x + 4 y = 800$$
Получим:
$$4 y + 8 \left(- y + 140\right) = 800$$
$$- 4 y + 1120 = 800$$
Перенесем свободное слагаемое 1120 из левой части в правую со сменой знака
$$- 4 y = -320$$
$$- 4 y = -320$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-4} \left(-1 \cdot 4 y\right) = 80$$
$$y = 80$$
Т.к.
$$x = - y + 140$$
то
$$x = - 80 + 140$$
$$x = 60$$

Ответ:
$$x = 60$$
$$y = 80$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = 60$$
=
$$60$$
=

60

$$y_{1} = 80$$
=
$$80$$
=

80

Метод Крамера

[TeX]

$$6 x + 6 y = 840$$
$$8 x + 4 y = 800$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$6 x + 6 y = 840$$
$$8 x + 4 y = 800$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}6 x_{1} + 6 x_{2}\\8 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}840\\800\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & 6\\8 & 4\end{matrix}\right] \right )} = -24$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{24} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}840 & 6\\800 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 60$$
$$x_{2} = - \frac{1}{24} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & 840\\8 & 800\end{matrix}\right] \right )} = 80$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$6 x + 6 y = 840$$
$$8 x + 4 y = 800$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$6 x + 6 y = 840$$
$$8 x + 4 y = 800$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}6 & 6 & 840\\8 & 4 & 800\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}6 & 6 & 840\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -320\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -4 & -320\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}6 & 6 & 840\\0 & -4 & -320\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -320\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}6 & 0 & 360\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6 & 0 & 360\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}6 & 0 & 360\\0 & -4 & -320\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$6 x_{1} - 360 = 0$$
$$- 4 x_{2} + 320 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 60$$
$$x_{2} = 80$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = 60.0000000000000
y1 = 80.0000000000000