6*x+6*y=840 8*x+4*y=800
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
6*x + 6*y = 840
$$6 x + 6 y = 840$$
8*x + 4*y = 800
$$8 x + 4 y = 800$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$6 x + 6 y = 840$$
$$8 x + 4 y = 800$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$6 x + 6 y = 840$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$6 x = - 6 y + 840$$
$$6 x = - 6 y + 840$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6} \left(- 6 y + 840\right)$$
$$x = - y + 140$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$8 x + 4 y = 800$$
Получим:
$$4 y + 8 \left(- y + 140\right) = 800$$
$$- 4 y + 1120 = 800$$
Перенесем свободное слагаемое 1120 из левой части в правую со сменой знака
$$- 4 y = -320$$
$$- 4 y = -320$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-4} \left(-1 \cdot 4 y\right) = 80$$
$$y = 80$$
Т.к.
$$x = - y + 140$$
то
$$x = - 80 + 140$$
$$x = 60$$
Ответ:
$$x = 60$$
$$y = 80$$
$$6 x + 6 y = 840$$
$$8 x + 4 y = 800$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$6 x + 6 y = 840$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$6 x = - 6 y + 840$$
$$6 x = - 6 y + 840$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6} \left(- 6 y + 840\right)$$
$$x = - y + 140$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$8 x + 4 y = 800$$
Получим:
$$4 y + 8 \left(- y + 140\right) = 800$$
$$- 4 y + 1120 = 800$$
Перенесем свободное слагаемое 1120 из левой части в правую со сменой знака
$$- 4 y = -320$$
$$- 4 y = -320$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-4} \left(-1 \cdot 4 y\right) = 80$$
$$y = 80$$
Т.к.
$$x = - y + 140$$
то
$$x = - 80 + 140$$
$$x = 60$$
Ответ:
$$x = 60$$
$$y = 80$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = 60$$
=
$$60$$
=
$$y_{1} = 80$$
=
$$80$$
=
=
$$60$$
=
60
$$y_{1} = 80$$
=
$$80$$
=
80
Метод Крамера
[TeX]
$$6 x + 6 y = 840$$
$$8 x + 4 y = 800$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$6 x + 6 y = 840$$
$$8 x + 4 y = 800$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}6 x_{1} + 6 x_{2}\\8 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}840\\800\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & 6\\8 & 4\end{matrix}\right] \right )} = -24$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{24} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}840 & 6\\800 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 60$$
$$x_{2} = - \frac{1}{24} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & 840\\8 & 800\end{matrix}\right] \right )} = 80$$
$$8 x + 4 y = 800$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$6 x + 6 y = 840$$
$$8 x + 4 y = 800$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}6 x_{1} + 6 x_{2}\\8 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}840\\800\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & 6\\8 & 4\end{matrix}\right] \right )} = -24$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{24} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}840 & 6\\800 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 60$$
$$x_{2} = - \frac{1}{24} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & 840\\8 & 800\end{matrix}\right] \right )} = 80$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$6 x + 6 y = 840$$
$$8 x + 4 y = 800$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$6 x + 6 y = 840$$
$$8 x + 4 y = 800$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}6 & 6 & 840\\8 & 4 & 800\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}6 & 6 & 840\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -320\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -4 & -320\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}6 & 6 & 840\\0 & -4 & -320\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -320\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}6 & 0 & 360\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6 & 0 & 360\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}6 & 0 & 360\\0 & -4 & -320\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$6 x_{1} - 360 = 0$$
$$- 4 x_{2} + 320 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 60$$
$$x_{2} = 80$$
$$6 x + 6 y = 840$$
$$8 x + 4 y = 800$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$6 x + 6 y = 840$$
$$8 x + 4 y = 800$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}6 & 6 & 840\\8 & 4 & 800\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}6 & 6 & 840\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -320\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -4 & -320\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}6 & 6 & 840\\0 & -4 & -320\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -320\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}6 & 0 & 360\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6 & 0 & 360\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}6 & 0 & 360\\0 & -4 & -320\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$6 x_{1} - 360 = 0$$
$$- 4 x_{2} + 320 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 60$$
$$x_{2} = 80$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 60.0000000000000 y1 = 80.0000000000000