Дана система ур-ний $$6 x + 6 y = 840$$ $$8 x + 4 y = 800$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$6 x + 6 y = 840$$ Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака $$6 x = - 6 y + 840$$ $$6 x = - 6 y + 840$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при x $$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6} \left(- 6 y + 840\right)$$ $$x = - y + 140$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$8 x + 4 y = 800$$ Получим: $$4 y + 8 \left(- y + 140\right) = 800$$ $$- 4 y + 1120 = 800$$ Перенесем свободное слагаемое 1120 из левой части в правую со сменой знака $$- 4 y = -320$$ $$- 4 y = -320$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{1}{-4} \left(-1 \cdot 4 y\right) = 80$$ $$y = 80$$ Т.к. $$x = - y + 140$$ то $$x = - 80 + 140$$ $$x = 60$$
Ответ: $$x = 60$$ $$y = 80$$
Быстрый ответ
$$x_{1} = 60$$ = $$60$$ =
60
$$y_{1} = 80$$ = $$80$$ =
80
Метод Крамера
$$6 x + 6 y = 840$$ $$8 x + 4 y = 800$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$6 x + 6 y = 840$$ $$8 x + 4 y = 800$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}6 x_{1} + 6 x_{2}\\8 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}840\\800\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & 6\\8 & 4\end{matrix}\right] \right )} = -24$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{1}{24} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}840 & 6\\800 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 60$$ $$x_{2} = - \frac{1}{24} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}6 & 840\\8 & 800\end{matrix}\right] \right )} = 80$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$6 x + 6 y = 840$$ $$8 x + 4 y = 800$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$6 x + 6 y = 840$$ $$8 x + 4 y = 800$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}6 & 6 & 840\\8 & 4 & 800\end{matrix}\right]$$ В 1 ом столбце $$\left[\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 1 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 1 ую строку $$\left[\begin{matrix}6 & 6 & 840\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 2 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -320\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -4 & -320\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}6 & 6 & 840\\0 & -4 & -320\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & -4 & -320\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}6 & 0 & 360\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6 & 0 & 360\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}6 & 0 & 360\\0 & -4 & -320\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$6 x_{1} - 360 = 0$$ $$- 4 x_{2} + 320 = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 60$$ $$x_{2} = 80$$